弹性

定义

对于函数 $Y = f (X)$ ，定义弹性（elasticity）为 $X$ 变化的比例引起 $Y$ 变化的比例，记作

ε \equiv \frac{d Y / Y}{d X / X} = \frac{d \ln Y}{d \ln X} = \frac{d Y}{d X} \frac{X}{Y}

类似地，对于多元函数 $Y = f (X_{1}, \dots, X_{n})$ 可以定义 $n$ 个偏弹性，记作

ε_{i} \equiv \frac{\partial Y / Y}{\partial X_{i} / X_{i}} = \frac{\partial \ln Y}{\partial \ln X_{i}} = \frac{\partial Y}{\partial X_{i}} \frac{X_{i}}{Y}

我们一般根据弹性绝对值的取值范围，称 $| ε | \in (1, + \infty)$ 为富有弹性，称 $| ε | \in (0, 1)$ 为缺乏弹性，称 $| ε | = 1$ 为单位弹性，称 $| ε | = 0$ 为无弹性。

当不清楚需求函数的具体形式时，可根据两个样本点估算弧弹性（arc elasticity）：

ϵ = \frac{Δ Q}{Δ P} \times \frac{(P_{0} + P_{1}) / 2}{(Q_{0} + Q_{1}) / 2} = \frac{Q_{1} - Q_{0}}{P_{1} - P_{0}} \times \frac{P_{0} + P_{1}}{Q_{0} + Q_{1}}

假设需求函数 $Q = f (P)$ 的价格弹性恒为 $- 1$ ，若价格上升一倍，则需求量变动多少？

记价格-需求从 $(P_{0}, Q_{0})$ 变为 $(P_{1}, Q_{1})$ ，由题意知 $P_{1} = 2 P_{0}$ ，且有 $\frac{d \ln Q}{d \ln P} = - 1$ ，因此

d \ln P = \ln P_{1} - \ln P_{0} = \ln 2 = - (\ln Q_{1} - \ln Q_{0})

解得 $\frac{Q_{1}}{Q_{0}} = \frac{1}{2}$ ，即需求量减半。

Note

若价格弹性为常数 $ε$ ，则需求函数形式为

Q = P^{ε} + C

满足

\frac{P_{1}}{P_{0}} = {(\frac{Q_{1}}{Q_{0}})}^{- ε}