有限责任约束

在道德风险问题中，我们一般考虑风险规避的代理人，因为风险中性的代理人必然获得固定报酬，难以看出道德风险产生的影响。然而，加入有限责任约束可以产生更有意义的结果。

假设委托人和代理人均为风险中性，以道德风险#二值离散模型为例

\begin{aligned} max_{{e, w (\cdot)}} & \sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{H} [x_{i} - w (x_{i})] \\ s.t. & \sum_{i = 1}^{n} p_{i}^{H} u (w (x_{i})) - c (e^{H}) \geq \bar{u} \\ \sum_{i = 1}^{n} [p_{i}^{H} - p_{i}^{L}] u (w (x_{i})) \geq c (e^{H}) - c (e^{L}) \\ w (x_{i}) \geq \bar{w} \end{aligned}

最后一项约束表明委托人无法无限制地惩罚代理人（例如对差的结果收取高额罚金）。

例题 1（离散模型）

令努力程度 $e \in {e^{H}, e^{L}}$ ，结果 $x \in {0, 1}$ ，假设委托人面临有限责任约束为 $w \geq 0$ ，委托人和代理人均为风险中性且保留效用均为零。

委托人效用函数为

U_{P} = x - w = {\begin{cases} 1 - w (1) & , x = 1 \\ - w (0) & , x = 0 \end{cases}

代理人效用函数为

U_{A} = w - C (e) = {\begin{cases} w (1) - c & , e = e^{H} \\ w (0) & , e = e^{L} \end{cases}

条件概率函数为

$P (y ∣ e)$	$x = 0$	$x = 1$
$e = e^{H}$	$0$	$1$
$e = e^{L}$	$q$	$1 - q$

最优合约选择问题为

\begin{aligned} max_{{e, w (\cdot)}} & 1 \times (1 - w (1)) \\ s.t. & w (1) - c \geq 0 \\ w (1) - c \geq q w (0) + (1 - q) w (1) \\ w (0), w (1) \geq 0 \end{aligned}

化简得

\begin{aligned} max_{{e, w (\cdot)}} & 1 - w (1) \\ s.t. & w (1) \geq c \\ w (1) - w (0) \geq \frac{c}{q} \\ w (0), w (1) \geq 0 \end{aligned}

要最大化目标函数需要 $w (1)$ 最小，但取 $w (1) = c$ 会使得 $w (0) < 0$ ，因为 $w (1)$ 和 $w (0)$ 的差值 $\frac{c}{q} > c$ ，因此取 $w (0) = 0$ ，继而得到 $w (1) = \frac{c}{q}$ ，此时

\begin{aligned} U_{P} & = 1 - \frac{c}{q} \\ U_{A} & = \frac{c}{q} - c \geq 0 \end{aligned}

可见和信息对称的基准模型相比，代理人的效用超过了保留效用，称为信息租金。

上述最优合约选择问题假设了委托人希望激励代理人选择高努力，然而当信息租金很大时委托人可能放弃激励，即只需要参与约束激励相容约束，不需要激励相容约束。此时，问题类似信息对称时的基准模型的反面，代理人获得固定报酬，但选择低努力水平。

最优合约选择问题变为

\begin{aligned} max_{{e, w (\cdot)}} & q \times (- w (0)) + (1 - q) \times (1 - w (1)) \\ s.t. & w (0) \geq 0 \\ w (0), w (1) \geq 0 \end{aligned}

取 $w_{0} = w_{1} = 0$ 即可，此时

{\begin{cases} {\hat{U}}_{P} & = 1 - q \\ {\hat{U}}_{A} & = 0 \end{cases}

可见即使存在道德风险，只要委托人放弃激励，代理人也只能获得保留效用。

综上所述，委托人会比较两种情形选择是否激励

{\begin{cases} c \leq q \\ q \leq 1 \end{cases}

将参数 $c$ 绘制在纵轴，参数 $q$ 绘制在横轴可以得到

令努力程度 $e \in [0, 1]$ ，结果 $x \in {0, 1}$ ，假设委托人面临有限责任约束为 $w \geq 0$ ，委托人和代理人均为风险中性且保留效用均为零。

委托人效用函数为

U_{P} = E [r x - w] = e \times [r - w (1)] + (1 - e) \times [- w (0)]

代理人效用函数为

U_{A} = U (E [w] - \frac{e^{2}}{2}) = U ([e w (1) + (1 - e) w (0)] - \frac{e^{2}}{2})

条件概率函数为

\begin{aligned} p (x = 1 ∣ e) & = e \\ p (x = 0 ∣ e) & = 1 - e \end{aligned}

激励相容约束为

max_{\hat{e}} = [\hat{e} w (1) + (1 - \hat{e}) w (0)] - \frac{{\hat{e}}^{2}}{2}

F.O.C.

w (1) - w (0) - \hat{e} = 0

最优合约选择问题为

\begin{aligned} max_{{e, w (\cdot)}} & e \times [r - w (1)] + (1 - e) \times [- w (0)] \\ s.t. & U_{A} (e) \geq 0 \\ e = w (1) - w (0) \\ w (1), w (0) \geq 0 \end{aligned}

化简得

\begin{aligned} max_{w} & e \times [r - w (1)] - (1 - e) \times w (0) \\ s.t. & w (0) + \frac{1}{2} [w (1) - w (0)]^{2} \geq 0 \\ w_{1}, w_{0} \geq 0 (LL) \end{aligned}

显然目标函数关于 $w (0)$ 递减，而参与约束表明 $w (0)$ 大于等于负数，因此降低 $w (0)$ 将使得有限责任约束为紧，即 $w (0) = 0$ ；此时参与约束也必然满足，问题退化为

max_{w} [w (1) - 0] [r - w (1)]

解得 $w (1) = \frac{r}{2}$ ，此时

\begin{aligned} U_{P} & = \frac{r^{2}}{4} \\ U_{A} & = \frac{r^{2}}{8} \end{aligned}

作为简单对比，将问题退化信息对称

\begin{aligned} max_{{e, w (\cdot)}} & e \times [r - w] + (1 - e) \times [- w] \\ s.t. & w - \frac{e^{2}}{2} \geq 0 \\ w \geq 0 \end{aligned}

显然参与约束为紧，即 $w = \frac{e^{2}}{2}$ ，问题退化为

max_{e} e r - \frac{e^{2}}{2} ⟹ e^{*} = r

解得 $w = \frac{r^{2}}{2}$ ，此时

\begin{aligned} U_{P}^{F B} & = \frac{r^{2}}{2} \\ U_{A}^{F B} & = 0 \end{aligned}

对比可知

U_{P} + U_{A} < U_{P}^{F B} + U_{A}^{F B}

因此，道德减少了社会总福利，但改善了代理人的境况（效率与公平的权衡）