Slutsky方程

将支出函数代入马歇尔需求 - 希克斯需求恒等式并对 $p_{j}$ 求导

\frac{\partial x_{i}^{H} (p, u)}{\partial p_{j}} = \frac{\partial x_{i}^{M} (p, e (p, \bar{u}))}{\partial p_{j}} + \frac{\partial x_{i}^{M} (p, e (p, \bar{u}))}{\partial e} \frac{\partial e (p, \bar{u})}{\partial p_{j}}

整理得 Slutsky 方程

\frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial p_{j}} = \underset{替代效应}{\underset{⏟}{\frac{\partial x_{i}^{H}}{\partial p_{j}}}} - \underset{收入效应}{\underset{⏟}{\frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial m} x_{j}}}

Note

替代效应：补偿消费者的收入直至其效用恢复到 $p_{j}$ 变动前时，消费者需求的变化。
收入效应：若 $p_{j}$ 增加 $1$ ，预算约束变为 $\sum_{i \neq j}^{} p_{i} x_{i} + (p_{j} + 1) p_{j} x_{j} = m$ ，相当于收入减少为 $m - x_{j}$ ，因此 $- x_{j} \frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial M}$ 就是收入变动产生的效应。

对于正常商品，收入效应为正，价格变动对希克斯需求的影响更大（希克斯需求曲线的斜率更小）；对于贫穷商品，收入效应为负，价格变动对希克斯需求的影响更小（希克斯需求曲线的斜率更大）。

可以进一步改写为弹性形式：

\begin{aligned} \frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial p_{j}} & = \frac{\partial x_{i}^{H}}{\partial p_{j}} - \frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial m} x_{j} \\ \frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial p_{j}} \frac{p_{j}}{x_{i}} & = \frac{\partial x_{i}^{H}}{\partial p_{j}} \frac{p_{j}}{x_{i}} - \frac{\partial x_{i}^{M}}{\partial m} \frac{m}{x_{i}} \frac{p_{j} x_{j}}{m} \\ ε_{j i}^{M} & = ε_{j i}^{H} - s_{j} η_{i} \end{aligned}

令 $j = i$ 考察自效应

ε_{i i}^{M} = ε_{i i}^{H} - s_{i} η_{i}

需求定理表明 $ε_{i i}^{H} \leq 0$ ，对于大多数正常商品 $η_{i} > 0$ 且 $s_{i}$ 较小，所以 $ε_{i i}^{M} < 0$ ；对于平均消费倾向很大的贫穷商品，有可能使得 $ε_{i i}^{M} > 0$ ，即 Giffen 商品。