支出最小化

模型

消费者最优化问题为

\begin{aligned} min_{{x_{i}}} & \sum_{i = 1}^{n} p_{i} x_{i} \\ s.t. & u (x_{1}, \dots, x_{n}) = \bar{u} \\ x_{i} \geq 0 \end{aligned}

Lagrangian 函数为

L = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i} + μ [\bar{u} - u (x_{1}, . . ., x_{n})]

F.O.C.

{\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x_{i}} = p_{i} - μ \frac{\partial u}{\partial x_{i}} = 0 & , x_{i} > 0 \\ \frac{\partial L}{\partial x_{i}} = p_{i} - μ \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \geq 0 & , x_{i} = 0 \end{cases}

（这些条件与效用最大化问题相同）
假设 $x_{a}, x_{b} > 0; x_{c} = 0$ ，其中 $a, b, c \in {1, \dots, n}$ ，可以得到：

替代平衡（substitution balance）等式/不等式

\frac{\partial u / \partial x_{a}}{\partial u / \partial x_{b}} = \frac{p_{a}}{p_{b}} and \frac{\partial u / \partial x_{c}}{\partial u / \partial x_{b}} \leq \frac{p_{c}}{p_{b}}

消费平衡（consumption balance）等式/不等式

\frac{p_{a}}{\partial u / \partial x_{a}} = \frac{p_{b}}{\partial u / \partial x_{b}} = μ \leq \frac{p_{c}}{\partial u / \partial x_{c}}

最优解记作

x_{i}^{H} (p_{1}, \dots, p_{n}, \bar{u}) or x^{H} (p, \bar{u})

称为希克斯需求函数（Marshallian demand function）。

事实上，马歇尔需求函数和希克斯需求函数取值相等，二者唯一的区别是受限于参数 $m$ 还是受限于参数 $\bar{u}$ ，也因此二者关于价格的导数并不相同，参阅 Slutsky方程。