道德风险

相较于 基准模型，道德风险情形下代理人的努力程度不可证实。假设代理人为风险中性，最优合约本应为固定报酬，但此时代理人必然选择最低的努力程度，导致委托人的利润相较于信息对称时偏低。因此，为了激励代理人选择更高的努力程度需要额外的约束。

一般模型

最优合约选择问题为

• 第一个约束是参与约束（或个人理性约束）
• 第二个约束是激励相容约束（incentive-compatibility constraint）

当努力程度是连续变量时该问题很难分析，因为目标函数关于 $e$ 并不必然是凹的，除非对条件概率函数的形式施加额外假设。因此我们先考虑该模型的简化版本。

二值离散模型

考虑努力程度是离散变量的情形。令 $e\in \{e^H,e^L\}$ ，令 $p_i^H\equiv p(x_i\mid e^H)$ 以及 $p_i^L\equiv p(x_i\mid e^L)$ ，设 $p^H$ 一阶 随机占优 于 $p^L$，即

相当于假设高努力结果的期望效用大于等于低努力结果的期望效用。

进一步假设委托人希望激励代理人选择高努力，此时激励相容约束为

最优合约选择问题为

Lagrangian 函数为

F.O.C.

整理得

作为对比，基准模型 相应的等式右边仅有 $\lambda$，因此第二项体现了道德风险的影响。

假设委托人是风险中性的，则上式退化为

当 $p_i^L=p_i^H$ 时，即对与努力程度无关的那些结果 $x_i$，$w(x_i)=\overline{w}$；

当 $p_i^L>p_i^H$ 时，即对更可能是低努力的那些结果 $x_i$，$w(x_i)<\overline{w}$；

当 $p_i^L<p_i^H$ 时，即对更可能是高努力的那些结果 $x_i$，$w(x_i)>\overline{w}$。

因此，如果要对更好的结果给予更高的报酬，就要求 $\frac{p_i^L}{p_i^H}$ 关于 $x_i$ 是递减的。然而，这个条件并不能从一阶随机占优假设导出。

线性连续模型

当努力程度是连续变量时，对于某些特定的条件概率函数，可以直接使用激励相容约束的一阶条件代替该约束。较为简单的一种满足如下线性条件

其中努力程度 $e\in (0,1)$ 相当于二值离散情形的混合策略。

激励相容约束为

F.O.C.

最优合约选择问题为

(最优化过程略)

整理得

如果要对更好的结果给予更高的报酬，就要求 $\frac{p_i^H-p_i^L}{[e{p}_i^H+(1-e)p_i^L]}$ 关于 $x_i$ 是递增的。