希克斯需求函数

希克斯需求函数是支出最小化问题的解，代回目标函数可以得到支出函数。

性质

希克斯需求函数 $x^{H} (p, \bar{u})$ 关于 $p$ 零次齐次。
$u (x^{H} (p, \bar{u})) = \bar{u}$
如果 $≿$ 是凸的，则 $u (\cdot)$ 是拟凹的， $x^{H} (p, m)$ 是凸集；如果 $≿$ 是严格凸的，则 $u (\cdot)$ 是严格拟凹的， $x^{H} (p, m)$ 是单值。

希克斯广义需求定律

保持效用为 $\bar{u}$ ，考虑两个价格向量 $p$ 和 $p^{'}$ ，对应的希克斯需求向量为 $x$ 和 $x^{'}$ ，根据支出最小化可知

\begin{aligned} p \cdot x & \leq p \cdot x^{'} \\ p^{'} \cdot x^{'} & \leq p^{'} \cdot x \end{aligned}

两式相加整理可得

\begin{aligned} p \cdot (x - x^{'}) & \leq p^{'} \cdot (x - x^{'}) \\ (p - p^{'}) \cdot (x - x^{'}) & \leq 0 \end{aligned}

微分类比（differential analogue）

d p \cdot d x \leq 0

On average, goods whose prices go up are consumed less (and the opposite is also true). Equivalently, the cross-good correlation between price changes and demand changes cannot be positive. So the law of demand comes right out of cost minimization.

比较静态分析

齐次性

支出函数关于价格是 $1$ 次齐次的，支出函数的导数是希克斯需求函数。因此，根据齐次函数#导数性质，希克斯需求函数关于价格是 $0$ 次齐次的，根据齐次函数#欧拉定理可得

\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial x_{i}^{H} (p, \bar{u})}{\partial p_{j}} p_{j} & = 0 \\ \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial x_{i}^{H} (p, \bar{u})}{\partial p_{j}} \frac{p_{j}}{x_{j}} & = 0 \\ \sum_{j = 1}^{n} ε_{j i}^{H} & = 0 \end{aligned}

任意商品的希克斯需求关于其他商品价格的弹性之和为零。

对称性

支出函数的交叉偏导数恒等式应用 Shephard's lemma

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} e (p, \bar{u})}{\partial p_{i} \partial p_{j}} & \equiv \frac{\partial^{2} e (p, \bar{u})}{\partial p_{j} \partial p_{i}} \\ \frac{\partial x_{i}^{H} (p, \bar{u})}{\partial p_{j}} & = \frac{\partial x_{j}^{H} (p, \bar{u})}{\partial p_{i}} \\ \frac{\partial x_{i}^{H} (p, \bar{u})}{\partial p_{j}} \frac{p_{j}}{x_{i}} \frac{p_{i} x_{i}}{m} & = \frac{\partial x_{j}^{H} (p, \bar{u})}{\partial p_{i}} \frac{p_{i}}{x_{j}} \frac{p_{j} x_{j}}{m} \\ ε_{j i}^{H} s_{i} & = ε_{i j}^{H} s_{j} \\ \frac{s_{i}}{s_{j}} & = \frac{ε_{i j}^{H}}{ε_{j i}^{H}} \end{aligned}

如果 $i$ 的平均消费倾向比 $j$ 更大，则 $p_{i}$ 的变动对 $x_{j}^{H}$ 的影响比 $p_{j}$ 的变动对 $x_{i}^{H}$ 的影响也更大。简而言之，平时花钱越多的商品价格的变动影响越大。

加权和

将支出最小化得到的马歇尔需求函数代回约束条件

u (x_{1}^{H} (p, \bar{u}), \dots, x_{n}^{H} (p, \bar{u})) = \bar{u}

等式两边对 $p_{j}$ 求导并代入支出最小化的一阶条件

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial x_{i}^{H} (p, \bar{u})}{\partial p_{j}} & = 0 \\ \sum_{i = 1}^{n} \frac{p_{i}}{μ} \frac{\partial x_{i}^{H} (p, \bar{u})}{\partial p_{j}} & = 0 \\ \sum_{i = 1}^{n} \frac{p_{i} x_{i}}{m} \frac{p_{j}}{x_{i}} \frac{\partial x_{i}^{H} (p, \bar{u})}{\partial p_{j}} & = 0 \\ \sum_{i = 1}^{n} s_{i} ε_{j i}^{H} & = 0 \end{aligned}

任意商品的价格对其他商品的弹性加权和为零。

小结

齐次性
对称性
加权和

知1、2可以推3；知2、3可以推1（2式对 $j$ 求和）；但知 1、3 不可以推 2