CIES效用函数

定义

考察如下形式的跨期效用函数

U (c_{1}, c_{2}) = u (c_{1}) + β u (c_{2})

边际替代率为

{MRS}_{1, 2} = \frac{d c_{2}}{d c_{1}} = - \frac{\partial U / \partial c_{1}}{\partial U / \partial c_{2}}

跨期替代弹性为

σ_{1, 2} = \frac{d \ln \frac{c_{2}}{c_{1}}}{d \ln {MRS}_{1, 2}}

特别地，如果 $u (c)$ 为 CRRA 效用函数，即得到常跨期替代弹性（constant intertemporal elasticity of substitution, CIES）效用函数

U (c_{1}, c_{2}) = \frac{c_{1}^{1 - ε} - 1}{1 - ε} + β \frac{c_{2}^{1 - ε} - 1}{1 - ε}

边际替代率为

{MRS}_{1, 2} = - \frac{1}{β} (\frac{c_{1}}{c_{2}})^{- ε}

跨期替代弹性为

σ = \frac{d \ln \frac{c_{2}}{c_{1}}}{d [\ln (- \frac{1}{β}) - ε \ln \frac{c_{1}}{c_{2}}]} = \frac{d \ln \frac{c_{2}}{c_{1}}}{ε d \ln \frac{c_{2}}{c_{1}}} = \frac{1}{ε}

可见 CIES 效用函数的跨期替代弹性为 CRRA 效用函数相对风险规避系数的倒数。

在所有加法可分的跨期效用函数中，属于位似函数的有且只有 CIES 效用函数。