线性投影模型

Abstract

如何利用 $X$ 预测或解释 $Y$ 是计量经济学的核心问题，但二者之间的真实关系总是未知的，所以我们必须建立模型才能有所进展。一个基本研究方向就是对 $Y$ 建模（人为设定函数形式），这里尝试最简单的线性模型。

模型设定

假设

Y = X^{T} β_{p} + e_{p}

其中 $e_{p}$ 称为投影误差（Projection Error），具有如下性质：

\begin{aligned} (1) & E [X e_{p}] & = 0 \\ (2) & E [e_{p}] & = 0 \\ (3) & C o v [X, e_{p}] & = 0 \end{aligned}

Proof

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} E [X e_{p}] & = E [X (Y - X^{T} β)] \\ = E [X Y] - E [X X^{T}] β \\ = E [X Y] - E [X X^{T}] E [X X^{T}]^{- 1} E [X Y] \\ = 0 \end{aligned} \end{matrix}

Important

$(2)$ 和 $(3)$ 的证明都要求 $X$ 包含常数项。

$(1)$ 表明 $E [(X_{1} e_{p}, \dots, X_{k} e_{p})^{T}] = 0$ ，若 $X$ 包含常数项，则对应的分量有

\begin{matrix} (2) & E [e_{p}] = 0 \end{matrix}

根据 $(1)$ 和 $(2)$ 可知

\begin{matrix} (3) & C o v [X, e_{p}] = E [X e_{p}] - E [X] E [e_{p}] = 0 \end{matrix}