马歇尔需求函数

马歇尔需求函数是效用最大化问题的解，代回目标函数可以得到间接效用函数。

别名：瓦尔拉斯需求函数（Walrasian demand fucntion）

性质

马歇尔需求函数 $x^{M} (p, w)$ 关于 $(p, w)$ 零次齐次。
Walras' Law: $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} x^{M} (p, m) = m$
如果 $≿$ 是凸的，则 $u (\cdot)$ 是拟凹的， $x^{M} (p, m)$ 是凸集；如果 $≿$ 是严格凸的，则 $u (\cdot)$ 是严格拟凹的， $x^{M} (p, m)$ 是单值。

比较静态分析

齐次性

马歇尔需求函数是 $0$ 次齐次函数，根据齐次函数#欧拉定理可得

\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial x_{i}^{M} (p, m)}{\partial p_{j}} p_{j} + \frac{\partial x_{i}^{M} (p, m)}{\partial m} m & = 0 \\ \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial x_{i}^{M} (p, m)}{\partial p_{j}} \frac{p_{j}}{x_{i}} + \frac{\partial x_{i}^{M} (p, m)}{\partial m} \frac{m}{x_{i}} & = 0 \\ \sum_{j = 1}^{n} ε_{j i}^{M} + η_{i} & = 0 \end{aligned}

Note

如果 $η_{i} > 0$ 即 $x_{i}$ 为正常商品，则 $\sum_{j = 1}^{n} ε_{j i}^{M} < 0$ 即与其他商品总体上互相补充；
如果 $η_{i} < 0$ 即 $x_{i}$ 为贫穷商品，则 $\sum_{j = 1}^{n} ε_{j i}^{M} > 0$ 即与其他商品总体上互相替代。

Engel aggregation

将效用最大化得到的马歇尔需求函数代回约束条件

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} x_{i}^{M} (p, m) = m

等式两边对 $m$ 求导

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial x_{i}^{M} (p, m)}{\partial m} \frac{m}{x_{i}} \frac{p_{i} x_{i}}{m} & = 1 \\ \sum_{i = 1}^{n} η_{i} s_{i} & = 1 \end{aligned}

其中 $s_{i} \equiv \frac{p_{i} x_{i}}{m}$ 实际上就是平均消费倾向，满足 $\sum_{i = 1}^{n} s_{i} = 1$ 。

这一规律被称为恩格尔加总，即马歇尔需求收入弹性的加权平均数为 1，可以看出不可能所有商品都是贫穷商品，否则收入弹性之和为负数。

Cournot aggregation

将效用最大化得到的马歇尔需求函数代回约束条件

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} x_{i}^{M} (p, m) = m

等式两边对 $p_{j}$ 求导

\begin{aligned} \sum_{i \neq j} p_{i} \frac{\partial x_{i}^{M} (p, m)}{\partial p_{j}} + x_{j}^{M} (p, m) & = 0 \\ \sum_{i \neq j} \frac{p_{i} x_{i}}{m} \frac{p_{j}}{x_{i}} \frac{\partial x_{i}^{M} (p, m)}{\partial p_{j}} + \frac{p_{j} x_{j}^{M} (p, m)}{m} & = 0 \\ \sum_{i \neq j} s_{i} ε_{j i} + s_{j} & = 0 \end{aligned}

Example

Let’s suppose $s_{j} = 0.1$ Then a 10% increase in the price of good j will be a 1% reduction in my real income. Since I have a 1% reduction in my real income, the formula says that, on average, I have to reduce my consumption of other goods by 1%.