风险规避系数

绝对风险规避

对于效用函数 $u (c)$ ，绝对风险规避（absolute risk aversion）系数定义为

R_{a} (c) \equiv - \frac{u^{″} (c)}{u^{'} (c)} = - \frac{1}{c} \frac{d u^{'} (c)}{d c} \frac{c}{u^{'} (c)} = - \frac{ε}{c} ⟹ ε = - R_{a} (c) c

其中 $ε$ 是边际效用关于 $c$ 的弹性。

定义：CARA（constant absolute risk aversion）效用函数即绝对风险规避系数 $R_{a}$ 为常数的效用函数。

u (c) = e^{- R_{a} c} = e^{ε}

注意：根据微观经济学/VNM 效用函数的性质，正斜率直线函数都是风险中性的 CARA 效用函数。

对于效用函数 $u (c)$ ，相对对风险规避（relative risk aversion）系数定义为

R_{r} \equiv - c \frac{u^{″} (c)}{u^{'} (c)} = - c R_{a} = ε

也就是边际效用关于 $c$ 的弹性 $ε$ 。

定义：CRRA（constant absolute risk aversion）效用函数即相对风险规避系数 $R_{r}$ 为常数的效用函数。

u (c) = \frac{c^{1 - R_{r}} - 1}{1 - R_{r}} = \frac{c^{1 - ε} - 1}{1 - ε}

特别地， $ε \to 1$ 时，根据洛必达法则

u (c) = lim_{ε \to 1} \frac{c^{1 - ε} - 1}{1 - ε} = lim_{ε \to 1} \frac{d c^{1 - ε} / d ε}{d (1 - ε) / d ε} = lim_{ε \to 1} \frac{c^{1 - ε} \ln (c) (- 1)}{(- 1)} = \ln c

综合为

u (c) = {\begin{cases} \frac{c^{1 - ε} - 1}{1 - ε} & if ε \neq 1 \\ \ln c & if ε = 1 \end{cases}