随机占优

设 $X$ 和 $Y$ 为随机变量，定义域均为 $[a, b]$ ， $F (X)$ 和 $G (Y)$ 为相应的概率累积分布函数。

一阶随机占优

若对于任意的 $x \in [a, b]$ ，都满足

H_{1} (x) = F (x) - G (x) \leq 0

则称则 $F (X)$ 一阶随机占优（first-order stochastic dominance）于 $G (Y)$ 。

Theorem 若 $F (X)$ 一阶随机占优于 $G (Y)$ ，则 $X$ 的期望 $E_{F} (X)$ 大于 $Y$ 的期望 $E_{G} (Y)$ ，即

F (X) \overset{FSD}{⟶} G (Y) ⟹ E_{F} (X) > E_{G} (Y)

证明：

\begin{aligned} E_{F} (X) - E_{G} (Y) & = \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x \\ = {x [F (x) - G (x)] |}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} [F (x) - G (x)] d x \\ = \int_{a}^{b} [G (x) - F (x)] d x > 0 \end{aligned}

证毕。

Theorem 令 $u (x)$ 为任意非递减函数。当且仅当 $F (X)$ 一阶随机占优于 $G (Y)$ 时， $u (X)$ 的期望 $E_{F} [u (X)]$ 不小于 $u (Y)$ 的期望 $E_{G} [u (Y)])$ ，即

F (X) \overset{FSD}{⟶} G (Y) ⟺ E_{F} [u (X)] \geq E_{G} [u (Y)]

证明：

\begin{aligned} E_{F} [u (X)] - E_{G} [u (Y)] & = \int_{a}^{b} u (x) [f (x) - g (x)] d x \\ = {u (x) [F (x) - G (x)] |}_{a}^{b} - u^{'} (x) \int_{a}^{b} [F (x) - G (x)] d x \\ = u^{'} (x) \int_{a}^{b} [G (x) - F (x)] d x \end{aligned}

（充分性）
如果 $F (X)$ 一阶随机占优于 $G (Y)$ ，则

\int_{a}^{b} [G (x) - F (x)] d x \geq 0 ⟺ E_{F} [u (X)] - E_{G} [u (Y)] \geq 0

（必要性）
如果 $E_{F} [u (X)] \geq E_{G} [u (Y)]$ ，则

\int_{a}^{b} [G (x) - F (x)] d x \geq 0

这看起来似乎并不能推出对于任意 $x$ 都满足 $G (x) \geq F (x)$ 。

假设 $\exists \bar{x} \in [a, b]$ 使得 $F (\bar{x}) - G (\bar{x}) > 0$ ，取非递减函数

u (x) = {\begin{cases} 1 & if x > \bar{x} \\ 0 & if x \leq \bar{x} \end{cases}

此时

\begin{aligned} E_{F} [u (X)] - E_{G} [u (Y)] & = \int_{a}^{b} u (x) [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{\bar{x}}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = [F (b) - G (b)] - [F (\bar{x}) - G (\bar{x})] \\ = G (\bar{x}) - F (\bar{x}) \geq 0 \end{aligned}

这与 $F (\bar{x}) - G (\bar{x}) > 0$ 矛盾，因此对于任意 $x$ 都满足 $G (x) \geq F (x)$ 。
证毕。

二阶随机占优

若对于任意的 $x \in [a, b]$ ，都满足

H_{2} (x) = \int_{a}^{x} H_{1} (t) d t \leq 0

则称 $F (X)$ 二阶随机占优于 $G (Y)$ 。

Theorem 若 $F (X)$ 二阶随机占优于 $G (Y)$ ，则随机变量 $X$ 的期望 $E_{F} (X)$ 不小于随机变量 $Y$ 的期望 $E_{G} (Y)$ ，即

F (\cdot) \overset{SSD}{⟶} G (\cdot) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (Y)

证明：根据二阶随机占优的定义可知

\int_{a}^{x} [F (t) - G (t)] d t \leq 0 ⟺ \int_{a}^{x} [G (t) - F (t)] d t \geq 0 ⟹ \int_{a}^{b} [G (x) - F (x)] d x \geq 0

因此，类似一阶随机占优的必要条件的证明过程

\int_{a}^{b} [G (x) - F (x)] d x \geq 0 ⟺ E_{F} (X) \geq E_{G} (Y)

证毕。

Theorem 令 $u (x)$ 为任意非递减的凹函数。当且仅当 $F (X)$ 二阶随机占优于 $G (Y)$ 且 $E_{F} (X) = E_{G} (Y)$ 时， $u (X)$ 的期望 $E_{F} [u (X)]$ 不小于 $u (Y)$ 的期望 $E_{G} [u (Y)])$

证明：