CRS

定义：若 $f : R^{n + m} \to R$ 是自变量 $x \in R^{n}$ 和 $y \in R^{m}$ 的函数，满足

f (t x, y) = t f (x, y) \forall t > 0

则称 $f$ 是关于 $x$ 的 $1$ 次齐次函数或 CRS 函数（constant return to scale function）。其中，参数 $t$ 称为自变量 $x$ 的规模（scale）。

边际产出

命题：CRS 生产函数的生产要素规模不影响边际产出。

证明：根据齐次函数#导数性质可知边际产出是 $0$ 次齐次函数，满足

\frac{\partial f (t x, y)}{\partial x_{i}} = \frac{\partial f (x, y)}{\partial x_{i}}

因此，扩大 $t$ 不影响边际产出。

Wicksell's Law

给定 CRS 生产函数 $y = f (x_{1}, x_{2})$ ，对边际产出 $f_{1}$ 应用齐次函数#欧拉定理

\begin{aligned} 0 \cdot f_{1} & = f_{11} x_{1} + f_{12} x_{2} \\ - f_{11} & = f_{12} \frac{x_{2}}{x_{1}} \end{aligned}

若边际产出 $f_{1}$ 递减（即 $f_{11} < 0$ ），则有 $f_{12} > 0$ 。这意味着 $x_{1}$ 的增加会提高边际产出 $f_{2}$ ，反之亦然，二者互补。这一结果称为 Wicksell's Law。

给定 CRS 生产函数 $y = f (x_{1}, \dots, x_{n})$ ，对边际产出 $f_{i}$ 应用欧拉定理

\begin{aligned} 0 \cdot f_{i} & = \sum_{j} f_{i j} x_{j} \\ - f_{i i} x_{i} & = \sum_{j \neq i} f_{i j} x_{j} \\ - f_{i i} & = \sum_{j \neq i} f_{j i} \frac{x_{j}}{x_{i}} \end{aligned}

若边际产出 $f_{i}$ 递减（即 $f_{i i} < 0$ ），则 ${f_{j i}}_{j \neq i}$ 的加权和为正。这意味着 $x_{i}$ 的增加「平均而言」会提高边际产出 ${f_{j}}_{j \neq i}$ ，或者至少存在一个 $x_{j}$ 和 $x_{i}$ 互补（ $max {f_{i j}}_{j \neq i} > 0$ ）。这一结果可以称为广义 Wicksell's Law。

二元生产性质

这部分性质仅适用于二元生产函数。

边际产出同调

给定 CRS 生产函数 $y = f (x_{1}, x_{2})$ ，分别对边际产出 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 应用齐次函数#欧拉定理

{\begin{cases} - f_{11} x_{1} = f_{12} x_{2} \\ - f_{22} x_{2} = f_{21} x_{1} \end{cases} ⟹ x_{1} x_{2} f_{11} f_{22} = x_{1} x_{2} (f_{12})^{2} ⟹ x_{1} x_{2} [f_{11} f_{22} - (f_{12})^{2}] = 0

若 $x_{1} x_{2} \neq 0$ ，则

g (x_{1}, x_{2}) \equiv f_{11} f_{22} - (f_{12})^{2} = 0

若 $x_{1} x_{2} = 0$ ，只要生产函数 $y$ 二阶连续可微，则

g (x_{1}, x_{2}) \equiv f_{11} f_{22} - (f_{12})^{2} = 0

否则 $g (0, 0)$ 将成为可去间断点，与连续性矛盾。

综上所述

f_{11} f_{22} = (f_{12})^{2} \geq 0

即边际产出 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 单调性相同。因此，对于二元 CRS 生产函数而言，任意一个要素边际产出递减就意味着另一个要素边际产出递减。

替代率递减

命题：给定 CRS 生产函数 $y = f (x_{1}, x_{2})$ ，如果所有要素的边际产出都（严格）递减，则任意要素对其他要素边际技术替代率的绝对值关于该要素（严格）递减。

证明：边际技术替代率的导数为

\begin{aligned} \frac{\partial | M R T S_{i, j} |}{\partial x_{i}} & = \frac{\partial (f_{i} / f_{j})}{\partial x_{i}} \\ = \frac{f_{j} (f_{i i} + f_{i j} \frac{d x_{j}}{d x_{i}}) - f_{i} (f_{j i} + f_{j j} \frac{d x_{j}}{d x_{i}})}{f_{j}^{2}} \\ = \frac{f_{j} (f_{i i} - f_{i j} \frac{f_{i}}{f_{j}}) - f_{i} (f_{j i} - f_{j j} \frac{f_{i}}{f_{j}})}{f_{j}^{2}} \\ = \frac{f_{j} f_{i i} - f_{i j} f_{i} - f_{i} f_{i j} + f_{j j} \frac{f_{i}^{2}}{f_{j}}}{f_{j}^{2}} \\ = \frac{f_{j}^{2} f_{i i} - 2 f_{i} f_{j} f_{i j} + f_{i}^{2} f_{j j}}{f_{j}^{3}} \end{aligned}

如果 $f_{i i}, f_{j j} < 0$ ，根据 Wicksell's Law 有 $f_{i j} > 0$ ，因此上式为负，证毕。

注意到 $y = f (x_{1}, x_{2})$ 的加边 Hessian 矩阵（Bordered Hessian）为

B = [\begin{matrix} 0 & f_{1} & f_{2} \\ f_{1} & f_{11} & f_{12} \\ f_{2} & f_{21} & f_{22} \end{matrix}]

如果 $y$ 为拟凹函数，则

\begin{aligned} | B_{1} | & = 0 \cdot f_{11} - (f_{1})^{2} \leq 0 \\ | B_{2} | & = 2 f_{1} f_{2} f_{12} - (f_{1})^{2} f_{22} - (f_{2})^{2} f_{11} \geq 0 \end{aligned}

其中

| B_{2} | \geq 0 ⟺ \frac{\partial | M R T S_{i, j} |}{\partial x_{i}} \geq 0

因此，获得边际替代率递减的二元生产函数有两种方式：

假设生产函数为 CRS 函数，边际产出递减（ $f_{i i}, f_{j j} \leq 0$ ）
假设生产函数为拟凹函数。

齐次生产性质

根据齐次函数#齐次生产性质可知，CRS 生产函数意味着

\begin{aligned} c (w, q) & = q c (w, 1) \\ x_{i}^{C} (w, q) & = q x_{i}^{C} (w, 1) \end{aligned}

特别地，对于 CRS 生产函数而言

\begin{aligned} A C & \equiv \frac{c (w, q)}{q} = c (w, 1) \\ M C & \equiv \frac{d c (w, q)}{d q} = c (w, 1) \end{aligned}

直觉：CRS 生产函数暗示了增产的要素组合是不变的，即 $M C = A C$ ；由于成本函数是累积函数，所以平均成本就等于第一单位的成本。

此外，根据成本函数#Shephard's lemma

\frac{\partial c (w, 1)}{\partial w_{i}} = x_{i}^{C} (w, 1) = \frac{x_{i}^{C} (w, q)}{q}

也即

\frac{\partial M C}{\partial w_{i}} = \frac{\partial A C}{\partial w_{i}} = \frac{1}{A P_{i}}