替代性

替代率

给定多元函数 $Y (X_{1}, \dots, X_{n})$ ，隐函数 $X_{i}$ 对 $X_{j}$ 的导数为

\frac{d X_{j}}{d X_{i}} = - \frac{\partial Y / \partial X_{i}}{\partial Y / \partial X_{j}}

给定效用函数 $U (X_{1}, \dots, X_{n})$ ，其中 $X$ 表示消费物品。定义 $X_{i}$ 对 $X_{j}$ 的边际替代率（Marginal Rate of Substitution, MRS）为

M R S_{i, j} \equiv \frac{d X_{j}}{d X_{i}} = - \frac{\partial U / \partial X_{i}}{\partial U / \partial X_{j}}

给定生产函数 $Q (x_{1}, \dots, x_{n})$ ，其中 $x$ 表示生产要素。定义 $X_{i}$ 对 $X_{j}$ 的边际技术替代率（Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS）为

M R T S_{i, j} \equiv \frac{d x_{j}}{d x_{i}} = - \frac{\partial Q / \partial x_{i}}{\partial Q / \partial x_{j}}

给定生产函数 $Q_{i} (\dots, z)$ 和生产函数 $Q_{j} (\dots, z)$ ，其中 $z$ 表示某种自然资源。定义 $Q_{i}$ 对 $Q_{j}$ 的边际转换率（Marginal Rate of Transformation, MRT）为

M R T_{i, j} = \frac{\partial Q_{j} / \partial z}{\partial Q_{i} / \partial z}

证明

\frac{d M R T S_{L, K}}{d L} = \frac{d (f_{L} / f_{K})}{d L} < 0

\begin{aligned} \frac{d M R T S_{L, K}}{d L} & = \frac{[f_{K} (f_{L L} + f_{L K} \frac{d K}{d L}) - f_{L} (f_{K L} + f_{K K} \frac{d K}{d L})]}{(f_{K})^{2}} \\ = \frac{(f_{K}^{2} f_{L L} - 2 f_{K} f_{L} f_{K L} + f_{L}^{2} f_{K K})}{(f_{K})^{3}} \end{aligned}

显然，仅由边际产量递减无法得出边际替代率递减，主要原因在于 $f_{K L}$ 的符号难以确定。

B = [\begin{matrix} 0 & f_{K} & f_{L} \\ f_{K} & f_{K K} & f_{L K} \\ f_{L} & f_{K L} & f_{L L} \end{matrix}]

若该生产函数拟凹，则有

| B_{1} | = | \begin{matrix} 0 & f_{K} \\ f_{K} & f_{K K} \end{matrix} | = - f_{K}^{2} \leq 0

| B_{2} | = | \begin{matrix} 0 & f_{K} & f_{L} \\ f_{K} & f_{K K} & f_{L K} \\ f_{L} & f_{K L} & f_{L L} \end{matrix} | = - (f_{K}^{2} f_{L L} - 2 f_{K} f_{L} f_{K L} + f_{L}^{2} f_{K K}) \geq 0

也即 $\frac{d M R T S_{L, K}}{d L} \leq 0$
综上所述，生产函数拟凹是边际技术替代率递减的必要条件。

f_{L} > 0, f_{K} > 0, f_{L L} < 0, f_{K K} < 0

还需要 $f_{K L} > 0$ ，考虑添加假设生产函数为线性齐次，根据欧拉定理有

f_{L} L + f_{K} K = Q

上式两边对L求导

f_{L L} L + f_{K L} K = 0

因为 $f_{L L} < 0$ 所以 $f_{K L} > 0$
综上所述，边际产量递减且为正的线性齐次生产函数是边际技术替代率递减的充分条件。

给定多元函数 $Y (X_{1}, \dots, X_{n})$ ，隐函数上某点和原点连线斜率的变化率比上该点处切线斜率的变化率为

\frac{d (\frac{X_{2}}{X_{1}}) / (\frac{X_{2}}{X_{1}})}{d (\frac{d X_{2}}{d X_{1}}) / (\frac{d X_{2}}{d X_{1}})} = \frac{d \ln (\frac{X_{2}}{X_{1}})}{d \ln \frac{d X_{2}}{d X_{1}}} = \frac{d \ln (\frac{X_{2}}{X_{1}})}{d \ln (- \frac{\partial Y / \partial X_{1}}{\partial Y / \partial X_{2}})}

给定效用函数 $U (X_{1}, \dots, X_{n})$ ，其中 $X$ 表示消费物品。定义 $X_{i}$ 对 $X_{j}$ 的替代弹性（Elasticity of Substitution）为

σ_{1, 2} = \frac{d (\frac{X_{2}}{X_{1}}) / (\frac{X_{2}}{X_{1}})}{d M R S_{1, 2} / M R S_{1, 2}} = \frac{d \ln (\frac{X_{2}}{X_{1}})}{d \ln | M R S_{1, 2} |} = \frac{d \ln (\frac{X_{2}}{X_{1}})}{d \ln (\frac{P_{1}}{P_{2}})} = \frac{d \ln (\frac{\partial E (P, \bar{U}) / \partial P_{2}}{\partial E (P, \bar{U}) / \partial P_{1}})}{d \ln (\frac{P_{1}}{P_{2}})}

给定生产函数 $Q (x_{1}, \dots, x_{n})$ ，其中 $x$ 表示生产要素。定义 $x_{i}$ 对 $x_{j}$ 的替代弹性（Elasticity of Substitution）为

σ_{1, 2} = \frac{d (\frac{x_{2}}{x_{1}}) / (\frac{x_{2}}{x_{1}})}{d M R T S_{1, 2} / M R T S_{1, 2}} = \frac{d \ln (\frac{x_{2}}{x_{1}})}{d \ln | M R T S_{1, 2} |} = \frac{d \ln (\frac{x_{2}}{x_{1}})}{d \ln (\frac{w_{1}}{w_{2}})} = \frac{d \ln (\frac{\partial C (P, \bar{U}) / \partial P_{2}}{\partial C (P, \bar{U}) / \partial P_{1}})}{d \ln (\frac{P_{1}}{P_{2}})}

注意： $σ_{1, 2} = σ_{2, 1}$ ，因为分子分母对数内取倒数不改变整体系数。