成本函数

这部分结论和支出函数完全一致

定义：将成本最小化问题的解（即条件要素需求函数）代入目标函数，得到的值函数称为成本函数。记作

c (w, q) \equiv \sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{C} (w, q)

Shephard's lemma

\frac{\partial c (w, q)}{\partial w_{i}} = \frac{\partial L^{*}}{\partial w_{i}} = x_{i}^{c} (w, q)

成本关于产量的弹性为

\frac{d c (w, q)}{d q} \frac{q}{c (w, q)} = \frac{M C}{A C}

假设生产函数是 $k$ 次齐次函数，要素市场是竞争性的。在成本函数代入生产平衡等式和欧拉定理可得

\begin{aligned} c (w, q) & = M C \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} x_{i}^{C} (w, q) \\ c (w, q) & = M C (k q) \end{aligned} ⟹ \frac{M C}{A C} = \frac{1}{k}

这里实际上是 CRS函数性质的扩展，即 $k$ 次齐次函数对应的成本函数为 $\frac{1}{k}$ 次齐次。

因此，如果假设规模报酬先递增再不变再递减的，就可以得到 U 形 $A C$ 曲线，从而确定竞争性厂商的最大规模。

考虑三个因素：

v = \int_{0}^{t} q (t) d t

定义成本函数为：

C = C (v, q)

假设：

特别地，如果在 $t$ 时间内产率 $X (t)$ 不变，则

v = t q

考虑 $\frac{d C}{d q}$ ：

d C = C_{v} d v + C_{q} d q = C_{v} t d q + C_{q} d q ⟹ \frac{d C}{d q} = t C_{v} + C_{q} > 0

考虑 $\frac{d^{2} C}{d q^{2}}$ ：

\frac{d^{2} C}{d q^{2}} = t \frac{d C_{v}}{d q} + \frac{d C_{q}}{d q}

其中

\begin{aligned} d C_{v} & = C_{v q} d q + C_{v v} d v = C_{v q} d q + t C_{v v} d q ⟹ \frac{d C_{v}}{d q} = C_{v q} + t C_{v v} \\ d C_{q} & = C_{q q} d q + C_{q v} d v = C_{q q} d q + t C_{q v} d q ⟹ \frac{d C_{q}}{d q} = C_{q q} + t C_{q v} \end{aligned}

代回原式可得

\frac{d^{2} C}{d q^{2}} = t (C_{v q} + t C_{v v}) + C_{q q} + t C_{q v} = t^{2} C_{v v} + 2 t C_{v q} + C_{q q}

假如 $q$ 较小时总量效应 $C_{v v}$ 大于产率效应 $C_{q q}$ ， $q$ 较大时总量效应小于产率效应，则边际成本先递减后递增；相应地，平均成本也先递减后递增。