外部性

模型设定

考虑两个参与人的互动，二者都具有拟线性效用

\begin{aligned} U_{Y} & = u (x) + m_{Y} \\ U_{N} & = v (x) + m_{N} \end{aligned} where u^{'} (x) \geq 0, u^{″} (x) < 0; v^{'} (x) < 0, v^{″} (x) < 0

假设社会总效用函数为

W = U_{Y} + U_{N} = u (x) + v (x)

社会最优（first best）条件为

x^{F B} = \underset{x}{\arg max} W (x) ⟹ u^{'} (x^{F B}) = - v^{'} (x^{F B})

即 $Y$ 的边际效用等于 $N$ 的边际成本。

社会次优（second best）条件为

x^{S B} = \underset{x}{\arg max} U_{Y} (x) ⟹ u^{'} (x^{S B}) = 0

即 $Y$ 会过多消费 $x$ 直至边际效用为零，因为 $N$ 无法控制 $x$ 的数量。

假设全知的社会计划者向 $Y$ 征收 $τ x$ ，其中 $τ$ 为税率，则 $Y$ 的最优化条件为

\begin{aligned} max_{x} & u (x) - τ x \\ s.t. & x \geq 0 \end{aligned}

根据 KT 条件：

{\begin{cases} u^{'} (x) - τ = 0 & , x > 0 \\ u^{'} (x) - τ \leq 0 & , x = 0 \end{cases}

结合社会最优条件可得

τ^{*} = - v^{'} (x)

即最优税率就是 $N$ 的边际成本，外部性内部化于 $Y$ 的选择问题。

① $x = 0$ 的权利属于 $N$ ， $Y$ 选择 $x > 0$ 要支付 $T$ ，由 $N$ 制定合约

\begin{aligned} max_{x, T} & v (x) + T \\ s.t. & u (x) - T \geq u (0) \end{aligned}

$N$ 可以提高 $T$ 使得约束取等号，问题等价于

max_{x} v (x) + u (x) - u (0)

② $x = 0$ 的权利属于 $N$ ， $Y$ 选择 $x > 0$ 要支付 $T$ ，由 $Y$ 制定合约

\begin{aligned} max_{x, t} & u (x) - T \\ s.t. & v (x) + T \geq v (0) \end{aligned}

$Y$ 可以降低 $T$ 使得约束取等号，问题等价于

max_{x} u (x) + v (x) - v (0)

③ $x > 0$ 的权利属于 $Y$ ， $N$ 选择 $x$ 要支付 $T$ ，由 $N$ 制定合约

\begin{aligned} max_{x, T} & v (x) - T \\ s.t. & u (x) + T \geq u (x_{Y}) \\ u^{'} (x_{Y}) = 0 \end{aligned}

$N$ 可以降低 $T$ 使得约束取等号，问题等价于

max_{x} v (x) + u (x) - u (x_{Y})

④ $x > 0$ 的权利属于 $Y$ ， $N$ 选择 $x$ 要支付 $T$ ，由 $Y$ 制定合约

\begin{aligned} max_{x, T} & u (x) + T \\ s.t. & v (x) - T \geq v (x_{Y}) \\ u^{'} (x_{Y}) = 0 \end{aligned}

$Y$ 可以提高 $T$ 使得约束取等号，问题等价于

max_{x} u (x) + v (x) - v (x_{Y})

①-④问题均等价于

max_{x} u (x) + v (x) - C

因此，最优解均为社会最优 $x^{*} = x^{F B}$ ，但资源的分配不同。

考虑一个实例

\begin{aligned} u (x) & = x - \frac{x^{2}}{2} \\ v (x) & = 1 - \frac{x^{2}}{2} \end{aligned}

社会最优解为

x^{F B} = \underset{x}{\arg max} - x^{2} + x + 1 ⟹ x^{F B} = \frac{1}{2}, U_{Y} = \frac{3}{8}, U_{N} = \frac{7}{8}

① $x = 0$ 的权利属于 $N$ ， $Y$ 选择 $x > 0$ 要支付 $T$ ，由 $N$ 制定合约

T = u (\frac{1}{2}) - u (0) = \frac{3}{8}, U_{Y} = 0, U_{N} = \frac{5}{4}

② $x = 0$ 的权利属于 $N$ ， $Y$ 选择 $x > 0$ 要支付 $T$ ，由 $Y$ 制定合约

T = v (0) - v (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}, U_{Y} = \frac{1}{4}, U_{N} = 1

③ $x > 0$ 的权利属于 $Y$ ， $N$ 选择 $x$ 要支付 $T$ ，由 $N$ 制定合约

T = u (1) - u (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}, U_{Y} = \frac{1}{2}, U_{N} = \frac{3}{4}

④ $x > 0$ 的权利属于 $Y$ ， $N$ 选择 $x$ 要支付 $T$ ，由 $Y$ 制定合约

T = v (\frac{1}{2}) - v (1) = \frac{3}{8}, U_{Y} = \frac{3}{4}, U_{N} = \frac{1}{2}

$(U_{Y}, U_{N})$	$N$ 制定合约	$Y$ 制定合约
产权属于 $N$	$(0, \frac{5}{4})$	$(\frac{1}{4}, 1)$
产权属于 $Y$	$(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$	$(\frac{3}{4}, \frac{1}{2})$

产权属于谁、谁制定合约，谁就分的多。