价格歧视合约

这是逆向选择框架的一个应用。

政府部门向企业提出一个产品供应合同，企业只能选择接受或拒绝。企业的利润函数为 $π = t - c q$ ，其中 $t$ 为销售额， $q$ 为供应量， $c \in {c_{H}, c_{L}}$ 为常数边际成本，满足 $c_{H} > c_{L} > 0$ ；企业的边际成本为零。假设企业的成本类型是私人信息，政府部门对成本类型的先验信念是 $P (c = c_{L}) = β$ 。

令 $B (q)$ （凹函数）表示政府部门获得 $q$ 单位产品的收益，最优合约是什么？
比较最优解和次优解，讨论结果的含义。
若 $c \sim U [\underset{―}{c}, \bar{c}]$ 为连续型变量，满足 $\bar{c} > \underset{―}{c} > 0$ ，最优解和次优解是什么？

逆向选择合约

政府部门设计两类合约 ${(q_{H}, t_{H}), (q_{L}, t_{L})}$ 实施逆向选择。

最优合约选择问题为

\begin{aligned} max_{{(q_{H}, t_{H}), (q_{L}, t_{L})}} & β [B (q_{L}) - t_{L}] + (1 - β) [B (q_{H}) - t_{H}] \\ s.t. & t_{H} - c_{H} q_{H} \geq 0 & (IR1) \\ t_{L} - c_{L} q_{L} \geq 0 & (IR2) \\ t_{H} - c_{H} q_{H} \geq t_{L} - c_{H} q_{L} & (IC1) \\ t_{L} - c_{L} q_{L} \geq t_{H} - c_{L} q_{H} & (IC2) \end{aligned}

首先，IC2 和 IR1 蕴含了 IR2

t_{L} - c_{L} q_{L} \geq t_{H} - c_{L} q_{H} \geq t_{H} - c_{H} q_{H} \geq 0

即忽略高效率代理人的参与约束（IR2）

其次， $IC1 + IC2$ 可得单调性条件

\begin{matrix} (M) & (c_{H} - c_{L}) (q_{H} - q_{L}) \leq 0 ⟹ q_{H} \leq q_{L} \end{matrix}

用其替换低效率代理人的激励相容约束（IC1）

目标函数关于 $t_{H}$ 是递减的，IR1 左侧关于 $t_{H}$ 是递增的，因此 IR2 取等号；目标函数关于 $t_{L}$ 是递减的，IC2 右侧关于 $t_{H}$ 是递增的，且 $t_{H}$ 的变动不影响 IR2，因此 IC2 也取等号。

最优合约选择问题变为

\begin{aligned} max_{{(q_{H}, t_{H}), (q_{L}, t_{L})}} & β [B (q_{L}) - t_{L}] + (1 - β) [B (q_{H}) - t_{H}] \\ s.t. & t_{H} - c_{H} q_{H} = 0 & (IR1) \\ t_{L} - c_{L} q_{L} = t_{H} - c_{L} q_{H} & (IC2) \\ q_{H} \leq q_{L} & (M) \end{aligned}

暂时忽略单调性条件，将约束条件代入目标函数消去 ${t_{H}, t_{L}}$

max_{{q_{H}, q_{L}}} β [B (q_{L}) - c_{L} q_{L} - (c_{H} - c_{L}) q_{H}] + (1 - β) [B (q_{H}) - c_{H} q_{H}]

F.O.C.

\begin{aligned} \frac{\partial \cdot}{\partial q_{L}} & = β [B^{'} (q_{L}) - c_{L}] = 0 \\ \frac{\partial \cdot}{\partial q_{H}} & = - β (c_{H} - c_{L}) + (1 - β) [B^{'} (q_{H}) - c_{H}] = 0 \end{aligned}

解得

{\begin{cases} B^{'} (q_{L}^{*}) = c_{L} \\ B^{'} (q_{H}^{*}) = c_{H} + \frac{β}{1 - β} (c_{H} - c_{L}) \end{cases}

因为 $B (q)$ 是凹函数，所以单调性条件 $q_{H} \leq q_{L} ⟺ B^{'} (q_{H}) \geq B^{'} (q_{L})$ ，检查

c_{H} + \frac{β}{1 - β} (c_{H} - c_{L}) - c_{L} = \frac{1}{1 - β} (c_{H} - c_{L}) \geq 0

因此单调性条件得到了满足。最后将关系式代入约束条件得到最优合约 ${(q_{H}, t_{H}), (q_{L}, t_{L})}$ 。

信息对称合约

最优解即政府部门分别与两类企业签订合约。

最优合约选择问题为

\begin{aligned} max_{{(q_{i}, t_{i})}_{i = H, L}} & B (q_{i}) - t_{i} \\ s.t. & t_{i} - c_{i} q_{i} \geq 0 \end{aligned}

显然参与约束取等号，代入目标函数消去 $t_{i}$ 解得

{\begin{cases} B^{'} (q_{L}) = c_{L} \\ B^{'} (q_{H}) = c_{H} \end{cases}

对比次优解可知高效率代理人最优条件相同（「高端不扭曲」），对低效率代理人而言

q_{H}^{F B} > q_{H}^{S B}

因此信息不对称使得高成本类型的企业供给相对不足。

连续模型

政府部门设计合约函数 ${(q (c), t (c))}$ 实施逆向选择。

最优合约选择问题为

\begin{aligned} max_{t, q} & \int_{\underset{―}{c}}^{\bar{c}} [B (q (c)) - t (c)] f (c) d c \\ s.t. & t (c) - c q (c) \geq 0 & \forall c \in [\underset{―}{c}, \bar{c}] (IR) \\ c \in \underset{\hat{c}}{\arg max} t (\hat{c}) - c q (\hat{c}) & \forall c, \hat{c} \in [\underset{―}{c}, \bar{c}] (IC) \end{aligned}

首先，令 $\tilde{c} \in [\underset{―}{c}, \bar{c})$ ，根据 IC 和 IR 可得

t (\tilde{c}) - \tilde{c} q (\tilde{c}) \geq t (\bar{c}) - \tilde{c} q (\bar{c}) \geq t (\bar{c}) - \bar{c} q (\bar{c}) \geq 0

因此 IR 可以精炼为

t (\bar{c}) - \bar{c} q (\bar{c}) \geq 0

即忽略所有高效率代理人的参与约束，且政府降低 $t (\bar{c})$ 可以使得约束取等号。

其次，求解 IC，一阶、二阶条件为

{\begin{cases} t^{'} (\hat{c}) - c q^{'} (\hat{c}) = 0 \\ t^{″} (\hat{c}) - c q^{″} (\hat{c}) \leq 0 \end{cases}

将最优解 $c$ 代入一阶条件再对 $c$ 求导得到

\begin{aligned} t^{'} (c) - c q^{'} (c) & = 0 \\ t^{″} (c) - q^{'} (c) - c q^{″} (c) & = 0 \end{aligned}

将最优解 $c$ 代入二阶条件，与上式联立解得单调性条件

\begin{matrix} (M) & \begin{array}{r} t^{″} (c) - c q^{″} (c) \leq 0 \\ t^{″} (c) - q^{'} (c) - c q^{″} (c) = 0 \end{array}} ⟹ q^{'} (c) \leq 0 \end{matrix}

最后，替换激励相容约束为其一阶条件。

难点：在 IC 最优化问题中， $\hat{c}$ 是自变量， $c$ 是参数，因此该目标函数的值函数为 $V (\hat{c})$ ，根据包络定理可知

\frac{d V (\hat{c})}{d c} = \frac{d [t (\hat{c}) - c q (\hat{c})]}{d c} = - q (\hat{c})

并且最优解 ${\hat{c}}^{*}$ 就是 $c$ ，因此

V^{'} (c) = - q (c)

等式两边在 $[c, \bar{c}]$ 区间积分可得

V (\bar{c}) - V (c) = - \int_{c}^{\bar{c}} q (c) d c

其中 $V (\bar{c}) = t (\bar{c}) - \bar{c} q (\bar{c}) = 0$ 等价与 IR 条件，因此

V (c) = t (c) - c q (c) = \int_{c}^{\bar{c}} q (c) d c

代入最优合约选择问题消去 $t (c)$ 变为

\begin{aligned} max_{{q (c)}} & \int_{\underset{―}{c}}^{\bar{c}} [B (q (c)) - c q (c) - \int_{c}^{\bar{c}} q (c) d c] f (c) d c \\ s.t. & t (\bar{c}) - \bar{c} q (\bar{c}) = 0 & (IR) \\ t^{'} (c) - c q^{'} (c) = 0 & (IC) \\ q^{'} (c) \leq 0 & (M) \end{aligned}

这里直接求解无约束最优化问题，最后再代入约束条件求解最优合约。

利用分部积分法化简目标函数最后一项，设 $u = \int_{c}^{\bar{c}} q (c) d c, v^{'} = f (c)$

\begin{aligned} \int_{\underset{―}{c}}^{\bar{c}} {[B (q (c)) - c q (c)] f (c) - [{\int_{c}^{\bar{c}} q (c) d c F (c) |}_{c}^{\bar{c}} - q (c) F (c)]} d c \\ = & \int_{\underset{―}{c}}^{\bar{c}} [B (q (c)) - c q (c) + \frac{q (c) F (c)}{f (c)}] f (c) d c \end{aligned}

因此最优化问题等价于

max_{{q (c)}} B (q (c)) - c q (c) + \frac{q (c) F (c)}{f (c)}

解得（代入均匀分布）

B^{'} (q (c)) = c + \frac{F (c)}{f (c)} = c + (c - \underset{―}{c})

作为对比，最优解满足

B^{'} (q (c)) = c

取 $c = \underset{―}{c}$ ， $F (\underset{―}{c}) = 0$ ，此时 $q^{F B} = q^{S B}$ ，即「高端不扭曲」；取 $c \in (\underset{―}{c}, \bar{c}]$ ， $q^{F B} > q^{S B}$ ；在均匀分布的情形下，还可以看出类型越高端（ $c - \underset{―}{c}$ 越大）扭曲程度越大。

总结：信息不对称使得高成本类型的企业供给相对不足，成本越高供给越不足。