AK Model

AK 生产函数通过放松边际产出递减和稻田条件假设避免了稳态，类比 Solow Model：

g_{k} \equiv \frac{\dot{k}}{k} = \frac{s f (k)}{k} - (n + g + δ)

通过将生产函数设定为 $Y = A K$ ，就能得到 $g_{k} = s A - (n + g + δ)$ 的不变增长率。

当然，这种对比并不严谨。下面讨论的 AK Model 排除了外生技术增长率，结合了 Ramsey-Cass-Koopmans Model 的内生储蓄率，但核心结论就是得出不变增长率。

基本假设

偏好

U = \int_{0}^{\infty} e^{- (ρ - n) t} \frac{c^{1 - θ} - 1}{1 - θ} d t

注意：上式蕴含 $L (t) = L (0) e^{n t}$ 以及 $L (0) = 1$ ；see also 风险规避系数#CRRA 效用函数

预算约束

\dot{a} (t) = (r (t) - n) a (t) + w (t) - c (t)

No-Ponzi game 约束

lim_{t \to \infty} a (t) \exp [- \int_{0}^{t} (r (s) - n) d s] \geq 0

欧拉方程

\frac{\dot{c} (t)}{c (t)} = \frac{r (t) - ρ}{θ}

横截条件

lim_{t \to \infty} [a (t) \exp (- \int_{0}^{t} (r (s) - n) d s)] = 0

最终产品的生产函数设定为

Y (t) = A K (t) ⟹ y (t) = A k (t)

这一设定违反了 Solow Model 中的假设②和③，即 $f^{″} (k) = 0$ 和 $lim_{t \to 0} f^{'} (k) = A > 0$

要素市场出清

\begin{aligned} f^{'} (k (t)) & = R (t) \\ 0 & = w (t) \end{aligned}

注意：显然 $R (t) \equiv A$ ；生产函数仅和资本相关，因此劳动的报酬退化为 0

借贷市场出清

\begin{aligned} a (t) & = k (t) \\ r (t) & = R (t) - δ \end{aligned}

除了假定 $Y = A K$ 以外，和 Ramsey-Cass-Koopmans Model 基本一致。

根据预算约束和市场出清条件可得资本的动态方程

\dot{k} (t) = (A - δ - n) k (t) - c (t)

根据欧拉方程和市场出清条件可得消费的动态方程

\frac{\dot{c} (t)}{c (t)} = \frac{[f^{'} (k (t)) - δ] - ρ}{θ} = \frac{A - δ - ρ}{θ}

根据横截条件和市场出清条件可得固定利率形式

lim_{t \to \infty} [k (t) e^{- (A - δ - n) t}] = 0

上述结果与 Ramsey-Cass-Koopmans Model 相比最突出的是，消费增长率为常数，与资本存量 $k (t)$ 无关，甚至可以直接求出 $c (t)$ 的路径（see 常微分方程）：

c (t) = c (0) \exp [\frac{1}{θ} (A - δ - ρ) t]

因此，这个模型没有稳态也不存在转移动态（transitional dynamics）。

将 $c (t)$ 的路径代入资本的动态方程也就可以得到 $k (t)$ 的路径：

\dot{k} (t) = (A - δ - n) k (t) - c (0) \exp [\frac{1}{θ} (A - δ - ρ) t]

这个微分方程的解结合横截条件（过程比较复杂）可得

k (t) = k (0) \exp [\frac{1}{θ} (A - δ - ρ) t]

总之，消费、资本和产出的增长率是一样的，均为 $g^{*} = \frac{A - δ - ρ}{θ}$ ；作为对比，Solow Model 得出的经济增长率 $n + g$ 完全来自外生参数，而 AK model 将增长内生化了。

均衡的储蓄率为

\begin{aligned} s & = \frac{\dot{K} (t) + δ K (t)}{Y (t)} \\ = \frac{\dot{K} (t) / K (t) + δ}{Y (t) / K (t)} \\ = \frac{\dot{k} (t) / k (t) + n + δ}{A} \\ = \frac{\frac{1}{θ} (A - δ - ρ) + n + δ}{A} \\ = \frac{A - ρ + θ n + (θ - 1) δ}{θ A} \end{aligned}

其中

\frac{\dot{K} (t)}{K (t)} = \frac{d \ln L (t) k (t)}{d t} = \frac{\dot{k} (t)}{k (t)} + n

因此，均衡储蓄率和 Solow Model 以及 Ramsey-Cass-Koopmans Model 一样为常数。

假如考虑政府征收比例为 $τ$ 的资本利得税，则预算约束变为

\dot{a} (t) = [(1 - τ) r (t) - n] a (t) + w (t) - c (t)

增长率变为

g^{*} = \frac{(1 - τ) (A - δ) - ρ}{θ}

储蓄率变为

s = \frac{(1 - τ) A - ρ + θ n + (1 - τ - θ) δ}{θ A}

如果 $A - δ > 0$ （相当于利率 $r (t)$ 为正），则上式关于 $τ$ 递减。