LATE

For unit $i$ , we have a binary instrument variable $Z_{i}$ , a binary treatment indicator $D_{i}$ , and an observed outcome $Y_{i}$ .

Definition Potential outcome of $Y$

Y = {\begin{cases} Y (1, 1), & if D = 1, Z = 1 \\ Y (1, 0), & if D = 1, Z = 0 \\ Y (0, 1), & if D = 0, Z = 1 \\ Y (0, 0), & if D = 0, Z = 0 \end{cases}

Definition Potential outcome of $D$

D = {\begin{cases} D (1), & if Z = 1 \\ D (0), & if Z = 0 \end{cases}

Assumption 1 (independence)

\begin{array}{r} {D (0), D (1)} ⊥ ⊥ Z \\ {Y (D (1), 1), Y (D (0), 0)} ⊥ ⊥ Z \end{array}

这要求 $Z$ 和 $D$ 之间、 $Z$ 和 $Y$ 之间不存在 confounders。

Assumption 2 (exclusion)

\begin{array}{r} Y (1, 1) = Y (1, 0) \equiv Y (1) \\ Y (0, 1) = Y (0, 0) \equiv Y (0) \end{array}

给定 $D$ 的结果， $Z$ 与 $Y$ 的潜在结果无关。换言之， $Z$ 仅通过 $D$ 作用于 $Y$ 。

Assumption 3 (relavance)

E [D (1) - D (0)] \neq 0

$Z$ 的确作用于 $D$ 。

Assumption 4 (monotonicity)

D (1) \geq D (0)

Wald Estimator

Wald estimator 定义为

\frac{E [Y ∣ Z = 1] - E [Y ∣ Z = 0]}{E [D ∣ Z = 1] - E [D ∣ Z = 0]}

其中，根据 independence 假设可知

\begin{aligned} E [Y ∣ Z = 1] & = E {Y (0) + D (1) [Y (1) - Y (0)] ∣ Z = 1} \\ = E {Y (0) + D (1) [Y (1) - Y (0)]} \end{aligned}

类似地

E [Y ∣ Z = 0] = E {Y (0) + D (0) [Y (1) - Y (0)]}

Wald estimator 化简为

\begin{aligned} = \frac{E {[D (1) - D (0)] \times [Y (1) - Y (0)]}}{E [D (1) - D (0)]} \\ = \frac{E [Y (1) - Y (0) ∣ D (1) > D (0)] \times P (D (1) > D (0)) + 0}{1 \times P (D (1) > D (0)) + 0} \\ = E [Y (1) - Y (0) ∣ D (1) > D (0)] \end{aligned}

其中，根据 monotonicity 可知 $D (1) - D (0)$ 等于 1 或零，这取决于前者究竟大于还是等于后者。将这一结果和 $A T E \equiv E [Y (1) - Y (0)]$ 对比可知，Wald estimator 仅仅估计满足 $D (1) - D (0)$ 部分的处理效应，即所谓的 LATE(Local Average Treatment Effect)。

LATE

那么，LATE 所说的“局部”（Local）究竟是符合哪些特征的个体？

借鉴医学术语，我们将人群划分为四类：

Always Takers
Never Takers
Compliers
Defiers
利用 $D$ 的潜在结果可以清晰地刻画其特征。

\begin{aligned} D_{a} & = D (1) = D (0) = 1 \\ D_{n} & = D (1) = D (0) = 0 \\ D_{c} & = {\begin{cases} D (1) = 1, & if Z = 1 \\ D (0) = 0, & if Z = 0 \end{cases} \\ D_{d} & = {\begin{cases} D (1) = 0, & if Z = 1 \\ D (0) = 1, & if Z = 0 \end{cases} \end{aligned}

举个例子（来自这里），假设 $Z$ 是兵役抽签， $D$ 是参军情况，考虑四种人：

坚定的爱国主义者：抽中了，自然要当兵；抽不中，依然主动要当兵。
坚定的反战主义者：抽不中，自然不去当兵；抽中了，宁可坐牢也不当兵。
普通人：抽中了，就去当兵；抽不中，就不去当兵。
疯子：抽中了，宁可坐牢也不去当兵；抽不中，却死也要去当兵。
单调性假设 $D (1) \geq D (0)$ 本质上就是在假设不存在这种疯子，相关性假设又排除了 Always Takers 和 Never Takers 两种人。因此，工具变量方法估计的只是 Compliers 的处理效应。