Solow Model

缺乏家庭最优决策是索洛模型和新古典增长模型的主要区别。

假设

生产函数的形式

劳动增强型（labor-augumenting/Harrod-neutral) ： $Y = F (K, A L)$
资本增强型（capital-augumenting）： $Y = F (A K, L)$
平衡增强型（Hicks-neutral）： $Y = A F (K, L)$

Cobb-Douglas函数的同时符合上述三种形式往往有解。

生产函数的特征

①规模报酬不变

F (c K, c A L) = c F (K, A L) \forall c \geq 0

用途是将总量生产函数转化为个量生产函数

\frac{Y}{A L} = F (\frac{K}{A L}, 1) \leftrightarrow y = f (k)

②边际产量为正且递减

f (0) = 0 f^{'} (k) > 0 f^{″} (k) < 0

③稻田条件（Inada condition）

lim_{k \to 0} f^{'} (k) = \infty lim_{k \to \infty} f^{'} (k) = 0

投入增速

假设劳动和知识匀速增长

\dot{L} (t) = n L (t) \dot{A} (t) = g A (t)

Note

命题： $$\frac{\dot{X}(t)}{X(t)}=g \leftrightarrow X(t)=e^{gt}X(0)$$
证明： $$\frac{\dot{X}(t)}{X(t)}=\frac{\mathrm{d}X(t)/X(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ln X(t)}{\mathrm{d}t}=g \implies \ln X(t)=gt+C$$
令 $t = 0$ ，解得 $C = \ln X (0)$ ，即 $\ln X (t) = g t + \ln X (0)$ ，取幂得 $X (t) = e^{g t} X (0)$

由此可见，需要 $\dot{X}$ 时可以先找 $\ln X$

总量资本的动态方程为

\begin{aligned} \dot{K} (t) & \equiv I (t) - δ K (t) \\ = [Y (t) - C (t)] - δ K (t) \\ = s Y (t) - δ K (t) \end{aligned}

动态

为了找到劳均资本 $\dot{k}$ 的动态方程，可以先找 $\ln k$

\begin{aligned} k & = \frac{K}{A L} \\ \ln k & = \ln K - \ln A - \ln L \\ \frac{d \ln k}{d t} & = \frac{d \ln K}{d t} - \frac{d A}{d t} - \frac{d L}{d t} \\ \frac{\dot{k}}{k} & = \frac{\dot{K}}{K} - \frac{\dot{A}}{A} - \frac{\dot{L}}{L} \\ \frac{\dot{k}}{k} & = \frac{\dot{K}}{K} - g - n \end{aligned}

其中

\begin{aligned} \frac{\dot{K}}{K} & = \frac{Y - C - δ K}{K} = \frac{Y}{K} - \frac{C}{K} - δ = \frac{f (k)}{k} - \frac{c}{k} - δ \\ = \frac{s Y - δ K}{K} = s \frac{Y}{K} - δ = s \frac{f (k)}{k} - δ \end{aligned}

从而得到劳均资本的动态方程：

\begin{aligned} \dot{k} & = f (k) - c - (n + g + δ) k \\ = s f (k) - (n + g + δ) k \end{aligned}

其中：

$s f (k)$ 称为实际投资（actual investment）；
$(n + g + δ) k$ 称为持平投资（breakeven investment）。

Note

由劳均资本的动态方程可以直接得到劳均资本增长率的表达式：

g_{k} \equiv \frac{\dot{k}}{k} = \frac{s f (k)}{k} - (n + g + δ)

根据稻田条件可知

lim_{k \to 0} \frac{f (k)}{k} = \infty lim_{k \to \infty} \frac{f (k)}{k} = 0

结合零点定理和边际产出递减可知，函数 $g_{k} (k)$ 必定存在唯一零点，即稳态。

因此，内生增长模型往往通过放松稻田条件和边际产出递减假设避免稳态。

稳态

当 $g_{k} = 0$ 即 $\dot{k} = 0$ 时称为稳态，将稳态劳均资本 $k^{*}$ 代入动态方程可得稳态方程

s f (k^{*}) = (n + g + δ) k^{*}

这意味着均衡的储蓄率为常数

s^{*} = \frac{(n + g + δ) k^{*}}{f (k^{*})} $ $ 稳 态 时 总 量 资 本 增 长 率 为 $ n + g $

\frac{\dot{k}}{k}=\frac{\dot{K}}{K}-\frac{\dot{A}}{A}-\frac{\dot{L}}{L}=0 \implies \frac{\dot{K}}{K}=n+g

稳 态 时 经 济 增 长 率 为 $ n + g $

\frac{\dot{Y}}{Y}=\frac{\mathrm{d}\ln Y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ln (ALf(k))}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ln A}{\mathrm{d}t}+\frac{\ln L}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\ln f(k)}{\mathrm{d}k} \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}t}=n+g

人 均 资 本 增 长 率

\frac{\dot{K/L}}{K/L}=\frac{\mathrm{d}\ln K/L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ln K}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}\ln L}{\mathrm{d}t}=g

由此可见，所谓的稳态就是**匀速增长**。 ## 比较静态分析  接下来分析参数如何影响稳态，稳态条件的几何分析是一种直观方法。 ![image.png](https://raw.githubusercontent.com/ykonut/picx-images-hosting/master/picgo/image-556a64421dfb625707d50d45436aff68.png) 其中，参数 $s$ 的分析最有意义，因为储蓄率比较容易干预，下面进行代数分析。  根据稳态条件，稳态解 $k^*$ 可以看作四个参数的隐函数，即 $k^*=k^*(s,n,g,\delta)$  定义函数

G=(n+g+\delta)k^-sf(k^)

根 据 隐 函 数 定 理 有

\frac{\partial k^}{\partial s}=- \frac{\partial G/\partial s}{\partial G/\partial k^}=\frac{f(k^)}{(n+g+\delta)-f'(k^)}

我 们 更 关 心 参 数 对 G D P 的 影 响 ， 可 以 使 用 链 式 法 则 求 解

\frac{ \partial y^* }{ \partial s }=\frac{ \partial f(k^) }{ \partial k^ }\frac{ \partial k^* }{ \partial s }=\frac{f'(k^)f(k^)}{(n+g+\delta)-sf'(k^*)}

导 数 的 经 济 意 义 仍 不 甚 清 楚 ， 所 以 尝 试 进 一 步 构 造 为 * * 弹 性 * *

\frac{ \partial y^* }{ \partial s } \frac{s}{y^} =\frac{f'(k^)}{\frac{n+g+\delta}{s}-f'(k^)}=\frac{f'(k^)}{\frac{f(k^)}{k^}-f'(k^)}=\frac{k^f'(k^)}{f(k^)-k^*f'(k)}=\frac{\alpha_{k}}{1-\alpha_{k}}

其中 $\alpha_{k}=\frac{k^*f'(k^*)}{f(k^*)}$ 可以看作归属劳均资本的产出份额。  为什么？根据齐次函数#欧拉定理

\begin{align}
F(K,AL) & =K\frac{ \partial F }{ \partial K }+AL\frac{ \partial F }{ \partial AL } \
f(k) & = k\frac{ \partial F }{ \partial K }+\frac{ \partial F }{ \partial AL }
\end

其 中 $ \frac{\partial F}{\partial K} = \frac{\partial A L f (k)}{\partial k} \frac{\partial k}{\partial K} = A L f^{'} (k) \frac{1}{A L} = f^{'} (k) $ ， 因 此

f(k)=kf'(k)+\frac{ \partial F }{ \partial AL }

所以 $\frac{kf'(k)}{f(k)}$ 可以看作归属劳均资本的份额。  ## 黄金率  我们仅仅知道储蓄率越高稳态就越高，但是并不能说哪一个稳态更好，黄金率即人为规定了消费最高的稳态是最好的稳态，即 $c^*_{g}\equiv\max c^*$  根据稳态消费的定义结合稳态条件

c^=f(k^)-sf(k^)=f(k^)-(n+g+\delta)k^*

F . O . C .

\frac{ d c^(k^) }{ d k^* }=f'(k^*)-(n+g+\delta)=0

这个式子可以解得 $k^*_{g}$，代回目标函数即可得到 $c^*_{g}$；这个式子还表明 $k^*_{g}$ 的几何意义，是持平投资线的平行线和曲线 $f(k)$ 的切点。   由 $k^*_{g}$ 可以反推出一个 $s_{g}$，我们称 $s>s_{g}$ 的范围为**动态无效率区间**，这是因为降低 $s$ 无论在短期和长期都可以带来帕累托改进：在短期消费水平提高，在长期稳态消费水平提高。  ## 绝对收敛与相对收敛  令劳均资本增长率对 $k$ 求导

\frac{\partial g_{k}}{\partial k}=\frac{s f'(k)k-s f(k)}{k^{2}}<0 \impliedby f'(k)k<f(k)

因此 $k$ 越大 $g_{k}$ 的增长率越小，或者说 $k$ 距离稳态越远增长率越大。  这一结果被称为**相对收敛（条件收敛）**；如果类比到不同经济体的比较，则穷国相对于富国增长更快，这被称为**绝对收敛（无条件收敛）** 假说。  ## 收敛速度  泰勒公式

f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + f''(x_{0}) \frac{(x-x_{0})^{2}}{2!} + \dots +f^{(n)}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^n}{n!}+R_

我 们 对 动 态 方 程 $ \dot{k} (k) $ 在 $ k^{*} $ 处 进 行 一 阶 泰 勒 展 开

\dot{k}(k)\approx \dot{k}(k^)+\left.\frac{ \partial \dot{k} }{ \partial k } \right|_{k=k^}(k-k^*)

其 中 $ \dot{k} (k^{*}) = 0 $ ， 记 $ \frac{\partial \dot{k}}{\partial k} = λ $ 可 得

\dot{k}(t)\approx \lambda k-\lambda k^*

套 用 [[02 宏 观 经 济 学 / 常 微 分 方 程 ∥ 常 微 分 方 程]] 通 解 公 式

\begin{align}
k(t)&\approx Ae^{\lambda t}+e^{\lambda t}\int e^{-\lambda t}(-\lambda k^) , dt \
&\approx Ae^{\lambda t}+e^{\lambda t}(e^{-\lambda t}k^+B) \
&\approx Ce^{\lambda t}+k^* \
&\approx [k(0)-k^]e^{\lambda t}+k^
\end

其 中 ， 令 $ t = 0 $ 可 得 $ C = k (0) - k^{*} $ > [! N O T E] > 或 者 换 一 种 观 点 $ $ \dot{k} (t) \approx λ (k - k^{*})

即资本减去一个常数后按固定速率增长 $k (t) - k^{*} \approx [k (0) - k^{*}] e^{λ t}$

现在来计算 $λ$

\begin{aligned} {\frac{\partial \dot{k}}{\partial k} |}_{k = k^{*}} & = {\frac{\partial [s f (k) - (n + g + δ) k]}{\partial k} |}_{k = k^{*}} \\ = s f^{'} (k^{*}) - (n + g + δ) \\ = \frac{(n + g + δ) k^{*}}{f (k^{*})} f^{'} (k^{*}) - (n + g + δ) \\ = (n + g + δ) [\frac{f^{'} (k) k^{*}}{f (k^{*})} - 1] \\ = (n + g + δ) (α_{k} - 1) \end{aligned}

例题：若 $α_{k}$ 为 $\frac{1}{3}$ ， $n + g + δ$ 为 6%，则多久可以收敛一半？

解答： $λ = - 0.04$ ，这里相当于问

\begin{aligned} \frac{1}{2} [k (0) - k^{*}] & \approx [k (0) - k^{*}] e^{λ t} \\ \frac{1}{2} & \approx e^{λ t} \end{aligned}

解得 $t \approx \frac{\ln 2}{0.04} \approx 17.3$

Q: 新古典生产函数的三个假设是什么？
A: ①规模报酬不变

F (c K, c A L) = c F (K, A L) \forall c \geq 0

②新古典生产

f (0) = 0 f^{'} (k) > 0 f^{″} (k) < 0

③稻田条件（Inada condition）

lim_{k \to 0} f^{'} (k) = \infty lim_{k \to \infty} f^{'} (k) = 0

Q: Solow Model 中劳均资本的动态方程？
A: $$
\dot{k}=sf(k)-(n+g+\delta)k

<! - - I D : 1717233375940 - - > Q : S o l o w M o d e l 中 稳 态 产 出 $ y^{*} $ 关 于 储 蓄 率 $ s $ 的 弹 性 ？ A :

\frac{ \partial y^* }{ \partial s } \frac{s}{y^*} =\frac{\alpha_{k}}{1-\alpha_{k}}

其 中 $ α_{k} = \frac{k^{*} f^{'} (k^{*})}{f (k^{*})} $ 可 以 看 作 归 属 劳 均 资 本 的 产 出 份 额 。 <! - - I D : 1717234008171 - - > Q : S o l o w M o d e l 中 稳 态 的 黄 金 率 水 平 是 如 何 定 义 的 ？ A : 最 大 化 消 费 的 稳 态 称 为 黄 金 率 水 平 。 根 据 稳 态 消 费 的 定 义 结 合 稳 态 条 件

c^=f(k^)-sf(k^)=f(k^)-(n+g+\delta)k^*

F . O . C . 为 $ f^{'} (k^{*}) = (n + g + δ) = 0 $ <! - - I D : 1717234008180 - - > Q : S o l o w M o d e l 中 收 敛 速 度 指 的 是 什 么 ， 通 常 用 什 么 符 号 表 示 ？ A : 收 敛 速 度 指 $ \dot{k} $ 动 态 方 程 一 阶 泰 勒 展 开 中 的 一 阶 导 数

\dot{k}(k)\approx \dot{k}(k^)+\left.\frac{ \partial \dot{k} }{ \partial k } \right|_{k=k^}(k-k^*)

通 常 记 作 $ {\frac{\partial \dot{k}}{\partial k} |}_{k = k^{*}} = λ $ <! - - I D : 1717233316435 - - > Q : S o l o w M o d e l 中 收 敛 速 度 的 表 达 式 ？ A :

\lambda=(n+g+\delta)(\alpha_{k}-1)

<! - - I D : 1717233385719 - - >