Romer(1986) Model

该模型和 AK Model 本质相同，只是通过所谓 Learning by Doing 合理化生产函数。

假设总量生产函数满足新古典特征：

\begin{matrix} (1) & Y (t) = K (t)^{α} [A (t) L (t)]^{1 - α} where 0 < α < 1 \end{matrix}

其中 $\frac{\dot{L} (t)}{L (t)} \equiv n$ ，而知识 $A (t)$ 源于总量资本积累

\begin{matrix} (2) & A (t) = B K (t)^{ϕ} where B, ϕ > 0 \end{matrix}

结合(1)(2)可得总量生产函数为

Y (t) = B^{1 - α} K (t)^{α + ϕ (1 - α)} L (t)^{1 - α}

为了简化，假设储蓄率是外生的，且折旧率为零，资本的动态方程为

\dot{K} (t) = s Y (t) = s B^{1 - α} K (t)^{α + ϕ (1 - α)} L (t)^{1 - α}

Note

不同于 Solow Model，这里令 $\dot{K} (t) = 0$ 不能得到稳态，进而应该尝试令 ${\dot{g}}_{K} = 0$ 找到（二阶）稳态。

先构造对数资本增长率

\begin{aligned} g_{K} & \equiv \frac{\dot{K} (t)}{K (t)} = s B^{1 - α} K (t)^{(ϕ - 1) (1 - α)} L (t)^{1 - α} \\ \ln g_{K} & = \ln (s B^{1 - α}) + (ϕ - 1) (1 - α) \ln [K (t)] + (1 - α) \ln [L (t)] \\ \frac{{\dot{g}}_{K}}{g_{K}} & = (ϕ - 1) (1 - α) \frac{\dot{K} (t)}{K (t)} + (1 - α) \frac{\dot{L} (t)}{L (t)} \end{aligned}

解得资本增长率的动态方程

{\dot{g}}_{K} = (ϕ - 1) (1 - α) g_{K}^{2} + (1 - α) n g_{K}

令 ${\dot{g}}_{K} = 0$ 得到

g_{K}^{*} = \frac{n}{1 - ϕ}

注意到方程 ${\dot{g}}_{K} (g_{K})$ 是一个过原点的二次函数，对称轴为 $g_{K} = \frac{n}{2 (1 - ϕ)}$

对比 $Y (t) = B^{1 - α} K (t) L (t)^{1 - α}$ 和 $Y (t) = A K (t)$ 的系数可知

g^{*} = \frac{B^{1 - α} L (0)^{1 - α} - δ - ρ}{θ}

增长核算

根据稳态资本增长率和知识生产函数可以得到知识增长率

\begin{aligned} \ln A (t) & = \ln B + ϕ \ln K (t) \\ \frac{d \ln A (t)}{d t} & = ϕ \frac{d \ln K (t)}{d t} \\ g_{A} & = ϕ g_{K} \end{aligned} ⟹ g_{A}^{*} = \frac{ϕ n}{1 - ϕ}

类似地，根据总量生产函数可得

g_{Y}^{*} = α g_{K}^{*} + (1 - α) (g_{A}^{*} + g_{L})

为了简化，下面仅考察 $ϕ = 1, n = 0$ 的情形，令 $L (t) = L$

个体生产函数为

\begin{matrix} (3) & Y_{i} (t) = K_{i} (t)^{α} [A (t) L_{i})]^{1 - α} where 0 < α < 1 \end{matrix}

其中，知识 $A (t)$ 源于总量资本积累

\begin{matrix} (2) & A (t) = B K (t) where B > 0 \end{matrix}

结合(2)(3)可得个体生产函数为

Y_{i} (t) = B^{1 - α} K (t)^{1 - α} K_{i} (t)^{α} L_{i}^{1 - α}

注意：厂商认为自己无法影响总量资本（实际上可以），因此存在外部性。

厂商的利润最大化条件为

\frac{\partial Y_{i} (t)}{\partial K_{i} (t)} = α B^{1 - α} K (t)^{1 - α} {[\frac{K_{i} (t)}{L_{i}}]}^{α - 1} = R (t)

注意：同质的厂商设定同样的 $\frac{K_{i} (t)}{L_{i}}$ ，相当于总体经济设定 $\frac{K (t)}{L}$

因此，边际私人产出(Marginal Private Product, MPP)为

M P P_{K} = {\frac{\partial Y_{i} (t)}{\partial K_{i} (t)} |}_{K_{i} = K} = α B^{1 - α} K (t)^{1 - α} {[\frac{K (t)}{L}]}^{α - 1} = α (B L)^{1 - α}

而根据总量生产函数可知边际社会产出(Marginal Social Product, MSP)为

M S P_{K} = (B L)^{1 - α}

因此， $M S P_{K} > M P P_{K}$ ，即私人投资不足，相应地增长率 $s α B^{1 - α} L (0)^{1 - α}$ 较低。

根据市场出清条件、利润最大化条件

r (t) = R (t) - δ = f (k) - δ

我们假设没有折旧，因此均衡利率为 $r (t) = α (B L)^{1 - α}$

如果进一步结合 Ramsey-Cass-Koopmans Model ，将利率代入欧拉方程可得

\frac{\dot{c} (t)}{c (t)} = \frac{α (B L)^{1 - α} - ρ}{θ} = \bar{g}

其中 $\bar{g}$ 就是 AK Model 提到的消费、资本、产出的共同增长率。