齐次函数

#数理经济学

定义：若 $f : R^{n + m} \to R$ 是自变量 $x \in R^{n}$ 和 $y \in R^{m}$ 的函数，满足

f (t x, y) = t^{k} f (x, y) \forall t > 0

则称 $f$ 是关于 $x$ 的 $k$ 次齐次函数（homogeneous functions of degree $k$ ）。如果函数 $f$ 关于所有自变量是 $k$ 次齐次函数，则简称 $f$ 是 $k$ 次齐次函数。

Example

欧拉定理

齐次函数的定义式两边对 $t$ 求导可得

\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f (t x, y)}{\partial x_{i}} x_{i} = k t^{k - 1} f (x, y)

令 $t = 1$ 得到欧拉定理（Euler's Theorem）

\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x_{i}} x_{i} = k f (x, y)

注意到

k = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f (x, z)}{\partial x_{i}} \frac{x_{i}}{f (x, z)}

因此，齐次函数的次数就是弹性之和。

命题：若 $f (x, y)$ 关于 $x$ 是 $k$ 次齐次函数，则 $\frac{\partial f (x, y)}{\partial x_{i}}$ 关于 $x$ 是 $k - 1$ 次齐次函数。

证明：齐次函数的定义式两边对 $x_{i}$ 求导可得

\frac{\partial f (t x, y)}{\partial x_{i}} t = t^{k} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x_{i}} ⟹ \frac{\partial f (t x, y)}{\partial x_{i}} = t^{k - 1} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x_{i}}

证毕。

命题：若 $f (x_{1}, x_{2})$ 是 $k$ 次齐次函数，则替代率 $\frac{d x_{j}}{d x_{i}}$ 是比例 $\frac{x_{i}}{x_{j}}$ 的函数。

证明：根据替代性#替代率定义和齐次函数的导数性质可得

\frac{d x_{2}}{d x_{1}} = - \frac{f_{1} (t x_{1}, t x_{2}) / t^{k - 1}}{f_{2} (t x_{1}, t x_{2}) / t^{k - 1}} = - \frac{f_{1} (t x_{1}, t x_{2})}{f_{2} (t x_{1}, t x_{2})}

令 $t = \frac{1}{x_{2}}$ 证毕

\frac{d x_{2}}{d x_{1}} = - \frac{f_{1} (\frac{x_{1}}{x_{2}})}{f_{2} (\frac{x_{1}}{x_{2}})}

直觉：原点引出的射线与无差异曲线族每个交点的边际替代率都相等。

注意：由于位似函数的替代率和相应的 CRS 函数一致，CRS 函数又属于齐次函数，因此任意二元位似函数也满足上述性质。

命题：若生产函数 $q = f (x)$ 关于 $x$ 是 $k$ 次齐次函数，则成本函数 $c (w, q)$ 关于 $q$ 是 $\frac{1}{k}$ 次齐次函数，条件要素需求函数 $x_{i}^{C} (w, q)$ 关于 $q$ 是 $\frac{1}{k}$ 次齐次函数。

证明：
成本函数的定义式为

c (w, q) \equiv \sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}^{C} (w, q)

成本最小化得到的生产平衡等式为

\frac{w_{i}}{\partial f (x) / \partial x_{i}} = λ

\frac{d c (w, q)}{d q} = \frac{d L}{d q} = λ

结合三个式子得到

c (w, q) = \frac{d c (w, q)}{d q} \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f (x)}{\partial x_{i}} x_{i}^{C} (w, q)

代入欧拉定理

\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f (x)}{\partial x_{i}} x_{i}^{C} (w, q) = k q

得到可分离变量的微分方程

\begin{aligned} c (w, q) & = \frac{d c (w, q)}{d q} k q \\ \frac{1}{k} \frac{d q}{q} & = \frac{d c (w, q)}{c (w, q)} \\ \frac{1}{k} \ln q & = \ln c (w, q) + C \end{aligned}

令 $q = 1$ 解得 $C = - \ln c (w, 1)$ ；上式取幂可得

q^{\frac{1}{k}} = \frac{c (w, q)}{c (w, 1)} ⟹ c (w, q) = q^{\frac{1}{k}} c (w, 1)

\frac{\partial c (w, q)}{\partial w_{i}} = q^{\frac{1}{k}} \frac{\partial c (w, 1)}{\partial w_{i}} ⟹ x_{i}^{C} (w, q) = q^{\frac{1}{k}} x_{i}^{C} (w, 1)

证毕。