成本最小化

#供给理论

成本最小化相对于利润最大化的优势是厂商在产品市场并非 price-taker 时可以简化求解过程。由于成本最小化和支出最小化大体相似，这里不再考虑不等式约束，但考虑厂商在要素市场为 price-searcher 的情形，也就是假设要素价格 $w_{i}$ 是要素需求 $x_{i}$ 的函数。

具体而言，类似收益函数的分析，定义要素成本和边际要素成本

\begin{aligned} F C_{i} & \equiv w_{i} x_{i} \\ M F C_{i} & \equiv \frac{d F C_{i}}{d x_{i}} = \frac{d w_{i}}{d x_{i}} x_{i} + w_{i} = w_{i} (1 + \frac{1}{ε_{i}}) \end{aligned}

其中 $ε_{i} \equiv \frac{d x_{i}}{d w_{i}} \frac{w_{i}}{x_{i}}$ 是厂商面临的要素供给曲线的价格弹性。

模型

厂商最优化问题为

\begin{aligned} min_{{x_{i}}} & \sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i} \\ s.t. & f (x_{1}, \dots, x_{n}) = q \end{aligned}

Lagrangian 函数为

L = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i} + λ [q - f (x_{1}, \dots, x_{n})]

F.O.C

\frac{\partial L}{\partial x_{i}} = w_{i} (1 + \frac{1}{ε_{i}}) - λ \frac{\partial f}{\partial x_{i}} = 0

替代平衡（substitution balance）等式

\frac{w_{a} (1 + \frac{1}{ε_{a}})}{w_{b} (1 + \frac{1}{ε_{b}})} = \frac{\partial f / \partial x_{a}}{\partial f / \partial x_{b}}

生产平衡（production balance）等式

\frac{w_{a} (1 + \frac{1}{ε_{a}})}{\partial f / \partial x_{a}} = \frac{w_{b} (1 + \frac{1}{ε_{b}})}{\partial f / \partial x_{b}} = λ

最优解记作

x_{i}^{C} (w_{1}, \dots, w_{n}, q) or x^{C} (w, q)

称为条件要素需求函数（conditional factor demand function）

最优解代回目标函数可得成本函数 $c (w, q)$

总结

根据替代性可知

M R T S_{a, b} = - \frac{\partial f / \partial x_{a}}{\partial f / \partial x_{b}}

因此替代平衡等式为

\frac{M F C_{a}}{M F C_{b}} = | M R T S_{a, b} |

根据包络定理可知

M C = \frac{d c (w, q)}{d q} = \frac{d L}{d q} = λ

因此生产平衡等式为

\frac{M F C_{i}}{M P_{i}} = M C

如果要素市场是 price-taker

\frac{w_{i}}{M P_{i}} = M C

在单要素生产的背景下，这一等式可以从产量曲线到成本曲线的几何转换推导出来。产量曲线横轴为生产要素 $x$ ，纵轴为总产量 $q$ ；成本曲线横轴为总产量 $q$ ，纵轴为总成本 $T C$ 。因此，产量曲线横轴按要素价格 $w$ 缩放，再按45°线镜像翻转（取反函数）就得到成本曲线。从边际量看，成本曲线斜率 $M C$ 就等于生产函数的反函数斜率再缩放，即 $\frac{w}{M P}$ 。具体而言，生产函数为 $q = f (x)$ ，成本函数为 $c = w x$ ，从而有

q = f (x) = f (\frac{c}{w}) ⟹ \frac{c}{w} = f^{- 1} (q) ⟹ \frac{M C}{w} = \frac{d f^{- 1} (q)}{d q} = \frac{1}{M P}

从另一个角度看，这一等式可以看作对成本函数应用链式法则

\frac{d c}{d x} = \frac{d F C}{d x} = \frac{d c}{d q} \frac{d q}{d x} ⟹ w = M C \times M P

第一个等式成立是因为成本函数加法可分。

特别地，如果产品市场和要素市场都是 price-taker

\frac{w_{i}}{P} = M P_{i}

以劳动要素为例，可以理解为实际工资等于边际产出。

成本弹性

假设要素市场是竞争性的，将最优条件 $M C = \frac{w_{i}}{f_{i}}$ 带入成本函数 $c = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} x_{i}$ 得

c = M C \sum_{i = 1}^{n} f_{i} x_{i}

假设生产函数是 $k$ 次齐次的，将欧拉定理 $k q = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} x_{i}$ 代入上式得

\begin{aligned} c & = M C k q \\ \frac{c}{q} & = M C k \\ \frac{M C}{A C} & = \frac{1}{k} \end{aligned}

$\frac{M C}{A C}$ 的经济意义为成本函数的弹性

θ = \frac{\frac{d c}{c}}{\frac{d q}{q}} = \frac{\frac{d c}{d q}}{\frac{c}{q}} = \frac{M C}{A C} = \frac{1}{k}

这里也可以看出 $k$ 次齐次生产函数对应的成本函数是 $\frac{1}{k}$ 次齐次的。

因此，如果生产函数是规模报酬先递增再不变再递减的，就可以得到 U 型 $A C$ 曲线