信号传递

信号传递模型和逆向选择模型区别在于，代理人可以花费一定成本向委托人发送信息，如果 G 型代理人发送信息的成本低于 B 型代理人，这种信息就可以向委托人彰显代理人的类型。然而，逆向选择模型已经表明了「高端不扭曲」性质，那么为什么还要研究高效率代理人发送信息的选择呢？这是因为这里我们假设委托人不再具有议价权，而是直接给出工资等于边际产出的合约。也就是说，我们不再研究对于委托人而言什么工资合约最好，而是给定委托人的合约形式，研究对于代理人而言是否应该发送信号。正因如此，模型求解的重心将转为代理人的最优化。

我们将依次考虑两种均衡：分离均衡和混同均衡。假设代理人只有 $G$ 和 $B$ 两种类型，前者的边际产出 $θ^{G} = 5000$ ，后者边际产出 $θ^{B} = 3000$ 。如果委托人只能瞎猜代理人的类型（例如，扔硬币），给出的工资将为边际产出的期望

E (θ) = \frac{1}{2} \times 5000 + \frac{1}{2} \times 3000 = 4000

因此，如果代理人只能选择是否发送信号，而 $G$ 型代理人发送信号的成本低于1000 元，他就有动机发送信号并获得 $5000 - 4000$ 的额外收益；同时，如果 $B$ 型发送信号的成本很高（例如，高于 2000 元），他将不发送信号并接受 3000 元的工资。这种两类代理人发送信号的选择不同的均衡就叫做分离均衡。然而，如果对两类代理人而言发送信息的成本都较低，也就是说两类代理人可能都会发送信号，这种均衡就叫做混同均衡。

二值离散模型

假设：

委托人向代理人支付的报酬相当于对其边际产出的期望
委托人对代理人类型为 G 的信念记作 $β (θ^{G}) \in [0, 1]$ 。

代理人有好（Good）和坏（Bad）两种类型，效用函数分别为

\begin{aligned} U_{A}^{G} & = w (s) - θ^{G} s \\ U_{A}^{B} & = w (s) - θ^{B} s \end{aligned}

$s \in [0, + \infty)$ 表示信号强度（例如教育年限）
$θ^{G} > θ^{B}$ 表示代理人的边际产出

这里信号强度是连续的，委托人将根据一个阈值判断代理人的类型。

分离均衡

在分离均衡中，超出阈值的信号必然来自 G 型代理人，工资函数为

w (s) = {\begin{cases} θ^{G} & , s \geq \hat{s} \\ θ^{B} & , s < \hat{s} \end{cases}

$G$ 型代理人选择高工资合约，满足

{\begin{cases} s^{G} \geq \hat{s} \\ w (s^{G}) - θ^{G} s^{G} \geq w (s^{B}) - θ^{G} s^{B} \end{cases} ⟹ \hat{s} \leq s^{G} \leq \frac{θ^{G} - θ^{B}}{θ^{G}} + s^{B}

效用函数 $U^{G}$ 关于 $s^{G}$ 递减，因此取 $s^{G} = \hat{s}$ 即可。

$B$ 型代理人选择低工资合约，满足

{\begin{cases} s^{B} < \hat{s} \\ w (s^{B}) - θ^{B} s^{B} \geq w (s^{G}) - θ^{B} s^{G} \end{cases} ⟹ {\begin{cases} s^{B} < \hat{s} \\ s^{B} \leq s^{G} - \frac{θ^{G} - θ^{B}}{θ^{B}} \end{cases}

效用函数 $U^{B}$ 关于 $s^{B}$ 递减，因此取 $s^{B} = 0$ 即可。

同时考虑两种合约的约束条件，可以得到参数 $\hat{s}$ 的范围：

\frac{θ^{G} - θ^{B}}{θ^{B}} \leq \hat{s} \leq \frac{θ^{G} - θ^{B}}{θ^{G}}

所有分离均衡的集合为：

E = {(s^{G}, s^{B}, w (s), β (θ^{G}))}

其中

\begin{aligned} s^{G} & = \hat{s} \\ s^{B} & = 0 \\ w (s) & = {\begin{cases} θ^{G} & , s \geq \hat{s} \\ θ^{B} & , s < \hat{s} \end{cases} \\ β (θ^{G}) & = {\begin{cases} 1 & , s \geq \hat{s} \\ 0 & , s < \hat{s} \end{cases} \\ \hat{s} & \in [\frac{θ^{G} - θ^{B}}{θ^{B}}, \frac{θ^{G} - θ^{B}}{θ^{G}}] \end{aligned}

Note

【分离均衡的精炼——直观准则（intuitive criterion）】
既然 $\hat{s} \in [\frac{θ^{G} - θ^{B}}{θ^{B}}, \frac{θ^{G} - θ^{B}}{θ^{G}}]$ 都可以产生分离均衡，那么 G 型代理人其实只需要刚好达到最低的信号强度即可让委托人相信自己，同时还可以节约信号成本。因此，这个均衡相对于其他均衡是一种帕累托改进，精炼后的均衡满足

\hat{s} = \frac{θ^{G} - θ^{B}}{θ^{B}}

混同均衡

在混同均衡中，超出阈值的信号仍然可能来自 B 型代理人，工资函数为

w (s) = {\begin{cases} q θ^{G} + (1 - q) θ^{B} & , s \geq \tilde{s} \\ θ^{B} & , s < \tilde{s} \end{cases}

其中， $q \equiv β (θ^{G})$ 。

注意：我们还不知道两类代理人混同于高工资还是低工资合约，因此先分别计算再比较。

$i$ 型代理人选择高工资合约，满足

{\begin{cases} s^{i} \geq \tilde{s} \\ q θ^{G} + (1 - q) θ^{B} - θ^{i} s^{i} \geq θ^{B} - θ^{i} s^{j} \end{cases} ⟹ s^{i} \leq s^{j} \leq \frac{q (θ^{G} - θ^{B})}{θ^{i}}

效用函数 $U^{i}$ 关于 $s^{i}$ 递减，因此取 $s^{i} = \tilde{s}$ 即可。

$j$ 型代理人选择低工资合约，满足

{\begin{cases} s^{j} < \tilde{s} \\ θ^{B} - θ^{j} s^{j} \geq q θ^{G} + (1 - q) θ^{B} - θ^{j} s^{i} \end{cases} ⟹ {\begin{cases} s^{j} < \tilde{s} \\ s^{j} \leq - \frac{q (θ^{G} - θ^{B})}{θ^{j}} + s^{j} \end{cases}

效用函数 $U^{j}$ 关于 $s^{j}$ 递减，因此取 $s^{j} = 0$ 即可。

可以证明高工资合约的效用大于等于低工资合约的效用（取 $\tilde{s}$ 上限）

U^{i} \geq q θ^{G} + (1 - q) θ^{B} - θ^{i} \tilde{s} \geq q θ^{G} + (1 - q) θ^{B} - q (θ^{G} - θ^{B}) = θ^{B} \geq U^{j}

因此，所有类型的代理人都选择高工资合约，参数 $\tilde{s}$ 只需要满足高工资合约的约束条件。

混同均衡的集合为

E_{p} = {(s^{G}, s^{B}, w (s), β (θ^{G}))}

其中

\begin{aligned} s^{G} & = \tilde{s} \\ s^{B} & = \tilde{s} \\ w (s) & = {\begin{cases} q θ^{G} + (1 - q) θ^{B} & , s \geq \tilde{s} \\ θ^{B} & , s < \tilde{s} \end{cases} \\ β (θ^{G}) & = {\begin{cases} q & , s \geq \hat{s} \\ 0 & , s < \hat{s} \end{cases} \\ \tilde{s} & \in [0, \frac{q (θ^{G} - θ^{B})}{θ^{G}}] \end{aligned}

Note

可以证明两类均衡是不交叉的，即 $\tilde{s}$ 的上界小于 $\hat{s}$ 的下界。换句话说，降低阈值会导致分离均衡变为混同均衡，因为 B 型代理人也能负担起信号发送成本了。

连续模型

假设：

委托人向代理人支付的报酬相当于对其边际产出的期望，
委托人对代理人类型为 $θ$ 的信念记作 $β (θ)$

代理人的类型是一个连续统，效用函数为

U_{A} = w (s) - \frac{s^{2}}{θ}

$s \in [0, + \infty)$ 表示信号强度（例如教育年限）
$θ \sim U [\underset{―}{θ}, \bar{θ}]$ 表示代理人的边际产出

分离均衡

委托人设定的工资函数为

w (s) = {\begin{cases} θ (s) & , s > 0 \\ 0 & , s = 0 \end{cases}

代理人发送符合自己类型的信号最有利

{\begin{cases} s > 0 \\ s = \underset{\hat{s}}{\arg max} w (\hat{s}) - \frac{{\hat{s}}^{2}}{θ} \end{cases} ⟹ \frac{d θ}{d s} = \frac{2 s}{θ}

解微分方程并代入初值条件 $θ (0) = 0$ 得到

s = \frac{θ}{\sqrt{2}}

分离均衡的集合为

E_{s} = {(s (θ), w (s), β (θ))}

其中

\begin{aligned} s & = \frac{θ}{\sqrt{2}} \\ w & = \sqrt{2} s \\ β (θ) & = {\begin{cases} f (θ) & , s > 0 \\ 0 & , s = 0 \end{cases} \end{aligned}

混同均衡

委托人设定的工资函数为

w (s) = {\begin{cases} \int_{\underset{―}{θ}}^{\bar{θ}} θ f (θ) d θ & , s \geq \tilde{s} \\ \underset{―}{θ} & , s < \tilde{s} \end{cases} = {\begin{cases} \frac{\bar{θ} + \underset{―}{θ}}{2} & , s \geq \tilde{s} \\ \underset{―}{θ} & , s < \tilde{s} \end{cases}

$i$ 型代理人选择高工资合约，满足

{\begin{cases} s^{i} \geq \tilde{s} \\ w (s^{i}) - \frac{(s^{i})^{2}}{θ^{i}} \geq w (s^{j}) - \frac{(s_{j})^{2}}{θ^{i}} \end{cases} ⟹ \tilde{s} \leq s^{i} \leq \sqrt{(\frac{\bar{θ} - \underset{―}{θ}}{2}) θ^{i} + (s^{j})^{2}}

效用函数 $U^{i}$ 关于 $s^{i}$ 递减，因此取 $s^{i} = \tilde{s}$ 即可。

$j$ 型代理人选择低工资合约，满足

{\begin{cases} s^{j} < \tilde{s} \\ w (s^{j}) - \frac{(s^{j})^{2}}{θ^{j}} \geq w (s^{i}) - \frac{(s^{i})^{2}}{θ^{j}} \end{cases} ⟹ {\begin{cases} s^{j} < \tilde{s} \\ s^{j} \leq \sqrt{- (\frac{\bar{θ} - \underset{―}{θ}}{2}) θ^{j} + (s^{i})^{2}} \end{cases}

效用函数 $U^{j}$ 关于 $s^{j}$ 递减，因此取 $s^{j} = 0$ 即可。

可以证明高工资合约的效用大于等于低工资合约的效用（取 $\tilde{s}$ 上限）

U^{i} \geq \frac{\bar{θ} - \underset{―}{θ}}{2} - \frac{(\tilde{s})^{2}}{θ^{i}} \geq \frac{\bar{θ} - \underset{―}{θ}}{2} - (\frac{\bar{θ} - \underset{―}{θ}}{2}) = 0 = U^{j}

因此，所有类型的代理人都选择高工资合约，参数 $\tilde{s}$ 只需要满足高工资合约的约束条件。

混同均衡的集合为

E_{s} = {(s (θ), w (s), β (θ))}

其中

\begin{aligned} s (θ) & = \tilde{s} \\ w (s) & = {\begin{cases} \frac{\bar{θ} + \underset{―}{θ}}{2} & , s \geq \tilde{s} \\ \underset{―}{θ} & , s < \tilde{s} \end{cases} \\ β (θ) & = {\begin{cases} f (θ) & , s \geq \tilde{s} \\ 0 & , s < \tilde{s} \end{cases} \\ \tilde{s} & \in [0, \sqrt{(\frac{\bar{θ} - \underset{―}{θ}}{2}) \underset{―}{θ}}] \end{aligned}